Kruskal, Martin

Martin David Kruskal
Martin David Kruskal
Születési dátum	1925. szeptember 28( 1925-09-28 )
Születési hely	New York , New York , USA
Halál dátuma	2006. december 26. (81 éves)( 2006-12-26 )
A halál helye	Princeton , Mercer , New Jersey , USA
Ország	USA
Tudományos szféra	elméleti fizika matematikai fizika
Munkavégzés helye	Rutgers Egyetem Princetoni Egyetem
alma Mater	A Chicagói New York-i Egyetem Egyeteme
tudományos tanácsadója	Richard Courant Bernard Friedman
Diákok	Nalini Joshi Robert McKay Steven Orsag
Ismert, mint	a szolitonok elméletének egyik megalapozója
Díjak és díjak	US National Medal of Science (1993)
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Martin David Kruskal ( ang.  Martin David Kruskal ; 1925. szeptember 28., New York - 2006. december 26. , Princeton ) - amerikai elméleti fizikus és matematikus , az Egyesült Államok Nemzeti Tudományos Akadémiájának tagja (1980). Plazmafizikai és magnetohidrodinamikai munkáiban a szabályozott termonukleáris fúziós rendszerekben fontos plazmastabilitás problémáját tanulmányozta (Kruskal-Schwarzschild instabilitás, Kruskal-Shafranov kritérium , energiaelv), megjósolta a nemlineáris álló plazmahullámok létezését (Bernstein- Green-Kruskal módok). Az általános relativitáselméletben olyan koordinátarendszert javasolt, amely lehetővé teszi a Schwarzschild-metrika legteljesebb leírását ( Kruskal-Szekeres koordináták, Kruskal-Szekeres diagram ) . Az alkalmazott matematika és matematikai fizika területén a szolitonok elméletének egyik úttörője volt : bebizonyította a Korteweg-de Vries egyenlet megoldásának szoliton jellegét, és javasolta magát a "szoliton" kifejezést, megalapozta a szolitonok elméletét. az inverz szórási probléma módszere , a Painlevé-egyenletek tulajdonságait tanulmányozta .

Életrajz

Martin David Kruskal 1925-ben született New Yorkban , idősebb Joseph Bernard Kruskal szőrme-nagykereskedő , Dorpatban született [ 1  ] és Lillian Oppenheimer (1898-1992) gyermekeként, aki a világ népszerűsítőjeként szerzett hírnevet. az origami művészete és az OrigamiUSA szervezet társalapítója . Anyja szülei Krakkóból származtak . Martin egyike volt a család öt gyermekének, testvérei, William és Joseph szintén híres matematikusok lettek. Kruskal New Rochelle -ben nőtt fel, a Riverdale -i Fieldston High Schoolban érettségizett , és a Chicagói Egyetemre lépett , ahol 1945-ben szerzett alapdiplomát . Richard Courant hatására a New York-i Egyetem Matematikai Intézetébe költözött , ahol asszisztens oktatóként dolgozott, és 1948-ban mesteri fokozatot kapott. Kruskal 1952-ben védte meg doktori disszertációját A hídtétel minimális felületekre címmel Courant és Bernard Friedman [ 2 ] irányításával .    

1951 óta Kruskal a Matterhorn projekt alkalmazottja volt, amelyet az 1961-es titkosítás feloldása után Princeton Plasma Physics Laboratory névre kereszteltek . Szintén 1961-ben a Princetoni Egyetem csillagászprofesszora lett , 1968-ban megalapította az alkalmazott és számítástechnikai matematikai programot, és 1979-ben matematikaprofesszorrá léptették elő. Miután 1989-ben nyugdíjba vonult, Kruskal a Rutgers Egyetem Matematika Tanszékére költözött , ahol átvette a David Hilbert matematika tanszéket [2] .  Ugyanakkor tagja volt a Los Alamos National Laboratory Nonlineáris Kutatási Központja külső tanácsadó bizottságának , majd 1979-től élete végéig egy emberi jogi szervezet igazgatótanácsában dolgozott . Az érintett tudósok bizottsága [3] .

1950 óta Kruskal Laura Lashinsky házastársa , akit  anyja origami klubjában ismert meg. Három gyermekük született, Karen, Kerry és Clyde akikből jogász, gyermekíró és informatikus lett . Martin és Laura szeretett túrázni, és gyakran utaztak együtt: konferenciákon beszélt, vagy meglátogatta kollégáit, ezeket az utazásokat az origami művészet népszerűsítésére használta fel. Édesanyjához és feleségéhez hasonlóan ő is szerette a játékokat és a rejtvényeket, sőt a Kruskal grófként ismert kártyatrükköt is kitalálta [4] [ 5] [6] . Kruskal barátai, Norman Zabuski és Robert Miura felidézték jellemének és életmódjának sajátosságait [3] :  

Martin szenvedélye minden tevékenysége iránt, beleértve a kutatást is, legendás volt. A kollégák megértették, hogy a napja gyakran délután kezdődik és kora reggel ért véget... Martin idősebb korában a szokásos pólót, rövidnadrágot, hátizsákot és "tokot" viselte. Ma fiatalabb kollégái nem ismerték volna fel a princetoni korai időszakában, amikor konzervatívan öltözött, és általában fehér ingben és nadrágban jelent meg a munkahelyén. És akkoriban a szemináriumokon mindig hátul ült a táblagépével, és elmerült a számításokban. Ezt követően az első sorban ült, és kérdésekkel és megjegyzésekkel bombázta az előadót.

Eredeti szöveg  (angol)[ showelrejt] Martin szenvedélye minden tevékenysége iránt, beleértve a kutatást is, legendás volt. A kollégák megértették, hogy a napja gyakran délután kezdődik és a kora reggeli órákban ért véget... Későbbi éveiben Martin a szokásos pólóját, rövidnadrágot, hátizsákot és „tokokat” viselte. Fiatalabb kollégái ma nem ismerték volna fel a princetoni korai időkben, amikor konzervatívan öltözött, és általában fehér ingben és nadrágban jött dolgozni. És azokban az időkben a szemináriumokon mindig hátul ült a vágólappal, és elmerült a számításokban. Újabban azonban az első sorban ült, és kérdésekkel, megjegyzésekkel bombázta az előadót.

A tudós 2006. december 26-án hunyt el agyvérzésben [3] .

Tudományos tevékenység

Plazmafizika

1951-ben Lyman Spitzer meghívta Martin Kruskalt a titkos Matterhorn projektbe, hogy dolgozzon a mágneses plazma sztellarátorban való elzáródásának elméletén , egy olyan reaktortípuson, amelyet nem sokkal korábban javasoltak szabályozott termonukleáris fúzióhoz [7] . A sztellarátorban a toroid csapdán áthaladó mágneses erővonal egyidejűleg egy bizonyos szögben, az úgynevezett forgási transzformáció szögében forog, a mágneses teret létrehozó vezetők spirális geometriája következtében . A tórusz többszöri megkerülésének eredményeként a spirális mágneses térvonal sűrűn kitölt egy bizonyos felületet, amelyet mágneses felületnek neveznek [8] . Az akkori és még teljesen meg nem oldott feladat a mágneses térforrások eloszlásának megtalálása, amely a reaktor belsejében egy olyan egymásba ágyazott mágneses felületek rendszerét hozná létre, amelyek nem nyúlnak túl a reaktoron, így a töltött plazmarészecskék mozognak. a mágneses felületek mentén nem hagyják el a reaktort. A projektben végzett munkája elején Kruskal a mágneses felületek kiszámításával foglalkozott a forgási transzformáció szögének kis értékeihez. A következő években jelentősen hozzájárult a plazmastabilitás problémájának fejlesztéséhez . Így 1954-ben Kruskal Martin Schwarzschilddal együtt bemutatta a gravitációs térben tartott plazma mágneses tér általi instabilitását (Kruskal-Schwarzschild instabilitás) [7] . Tanulmányozta továbbá egy hengeres plazmaszál instabilitását hosszanti elektromos árammal, amelyben a nyomást az áram által létrehozott toroidális mágneses tér ( lineáris csípés, vagy z-pinch [9] ) hatására egyensúlyozza ki. az izzószál alakjának hajlítási zavarai [10] . 1958-ban Kruskal közzétett egy kifejezést egy hengeres vagy, ami még fontosabb, tekercselt plazmaszál legnagyobb áramára, amelynél a plazma még mindig stabil [11] . Ezt a határértéket, amely nagyon fontos a tokamak fejlődése szempontjából, Vitalij Shafranov szovjet fizikus önállóan állapította meg , és Kruskal-Shafranov kritériumnak nevezik [7] .

Kruskal és munkatársai 1958-ban publikált cikksorozatukban a mágnesezett plazma egyensúlyi problémáját elemezték. Így Russell Kulsruddal együtt megmutatta  , hogy az egyensúlyi állapot az energiastacionaritás feltételéből a probléma paramétereinek változtatásával kereshető meg. Ira Bernsteinnel , Ed Friemannel és Kulsruddal  együtt megfogalmazta az úgynevezett „energia-elvet”, amely szerint a pozitív második energiaváltoztatás szükséges és elégséges feltétele a magnetohidrodinamikai stabilitásnak, és bemutatta ennek alkalmazását a stabilitás összetett geometriájú problémák esetén. Ezenkívül Kruskal és Carl Oberman kidolgozta a kinetikus energia első elvét az ütközésmentes plazma esetére. Az e munkákban megfogalmazott alapelveket ma is alkalmazzák a magnetohidrodinamikai problémák stabilitásának számítására [12] .  

1957-ben Bernstein, John M. Green és Kruskal kimutatta, hogy nemlineáris elektrosztatikus hullámok létezhetnek a plazmában anélkül, hogy Landau csillapítást tapasztalnának . Az ilyen hullámokat BGK módoknak nevezték a felfedezők első betűi . Ez az eredmény egy egész irányt adott a plazma nemlineáris hullámainak tanulmányozására [13] . Kruskal egy 1962-es tanulmányában megvizsgálta a mágneses térben lévő részecske problémájának adiabatikus invariánsát , bemutatta az invariancia megmaradását minden tágulási sorrendben egy kis paraméterben, majd ugyanezt a tulajdonságot egy általánosabb esetben is bebizonyította. differenciálegyenlet - rendszer , amelynek mindegyik megoldása megközelítőleg periodikus [12] .

Általános relativitáselmélet

1960-ban Kruskal publikált egy cikket a Physical Review folyóiratban , amelyben megtalálta a Schwarzschild-megoldás maximális analitikus folytatását , és olyan koordinátákat javasolt, amelyekben kényelmesen ábrázolható. Ugyanebben az évben Szekeres György is hasonló eredményeket ért el , és az általános relativitáselmélet (GR) tankönyvei olyan fogalmakat tartalmaztak, mint a Kruskal-Szekeres koordináták és a Kruskal-Szekeres diagram . A GR-egyenletek megoldása, amelyet Karl Schwarzschild talált meg 1916-ban, lehetővé teszi a gömbszimmetrikus fekete lyukak számos tulajdonságának leírását , ugyanakkor előrejelzi az eseményhorizonttal egybeeső szingularitás jelenlétét . Kruskal és Sekeres új koordináták bevezetésével kiküszöbölték ezt a szingularitást, és teljes mértékben megmagyarázták az ilyen objektumok térbeli és időbeli szerkezetét. Ráadásul Kruskal dolgozata tartalmazta az első „féreglyuk” típusú megoldást , amely a fekete lyukon kívüli tér két régióját kapcsolta össze [14] [15] .

Érdekes módon Kruskal cikkét valójában John Wheeler írta . Köztudott, hogy Kruskal valamikor 1956-ban vagy 1957-ben számolt be neki eredményeiről, láthatóan ebéd közben egy szalvétára firkálta őket. A következő években Wheeler új ötleteket terjesztett a GR szakemberei között, sőt az egyik konferencián bemutatta őket, és csak 1960-ban döntött úgy, hogy kiadja őket, és dolgozatot írt a Kruskal nevében. Utóbbi erről csak a magazintól kapott bizonyítékok után értesült [13] .

Nemlineáris differenciálegyenletek

Kruskal jelentős mértékben hozzájárult a megoldási módszerek kidolgozásához és a nemlineáris parciális differenciálegyenletek tulajdonságainak vizsgálatához . 1965-ben Norman Zabuskival együtt Kruskal ennek az egyenletosztálynak az egyik kanonikus példájának – a Korteweg-de Vries (KdV) egyenletnek [16] – tanulmányozása felé fordult , amely leírja a víz felszínén lévő hullámokat, a víz hosszát. amely sokkal nagyobb, mint egy tározó vagy medence mélysége (" elméleti sekély víz " [17] ). Zabusky és Kruskal a KdV modellt a jól ismert Fermi-Pasta-Ulam (FPU) probléma kontinuum határának tekinti a csatolt harmonikus oszcillátorok egydimenziós láncában lévő hullámokról [16] . Joseph Boussinesq (1871) és Lord Rayleigh (1876) még a KdV-egyenlet levezetése előtt kapott kifejezéseket egyetlen hullámimpulzusra, amely alak és sebesség változása nélkül terjed, és kísérletileg egyetlen púp formájában létrejött hullámra. egy csatornát figyelt meg J. Scott Russell [18] . Azonban csak Zabuska és Kruskal numerikus számításai tették lehetővé az ilyen "magányos" impulzusok új és váratlan tulajdonságainak feltárását. Kiderült, hogy stabilak és részecskékként viselkednek, nem esnek össze, amikor áthaladnak egymáson, és a rendszerben a kezdeti gerjesztések ilyen impulzusok sorozatává bomlanak le. Ezek a Zabuski és Kruskal szolitonok által elnevezett megoldások (az angol solitary - "szolitary" szóból) lettek az első példája az ilyen típusú nemlineáris hullámoknak , amelyek különféle fizikai, kémiai és biológiai rendszerekben találkoztak [16] .  

A szolitonok felfedezése erőteljes ösztönzőnek bizonyult a nemlineáris dinamika fejlődésében, különösen az inverz szórási módszer kifejlesztésében a következő néhány évben . Ennek a módszernek az alapjait 1967-ben Clifford Gardner , John Green, Martin Kruskal és Robert Miura közös írásában fektették le , akik megállapították a kapcsolatot a nemlineáris KdV-egyenlet és a lineáris Schrödinger-egyenlet (SE) között. amelyet általában az adott "potenciál" hullámfüggvényeinek megtalálására használnak. A szerzők a KdV egyenlet pontos megoldásának problémáját redukálták a hullámfüggvény (ismert) jellemzőiből az (ismeretlen) potenciál helyreállításának inverz problémájára [19] . A Peter Lax által az úgynevezett Lax-párral újrafogalmazott inverz szórási módszer hamarosan alkalmazásra talált más, megoldhatatlannak tartott nemlineáris parciális differenciálegyenletek integrálására és szoliton megoldásaik megtalálására. Kruskal és munkatársai az 1960-as és 1970-es években egy sor tanulmányban részletesen tanulmányozták a KdV-egyenlet tulajdonságait és általánosításait, különös tekintettel az ebből következő megmaradási törvényekre és a parciális differenciálegyenletek hierarchiájára [20] [21 ] ] .

Kruskal az 1980-as évek óta nagy figyelmet fordított a hat Painlevé-egyenlet , másodrendű közönséges differenciálegyenlet (ODE) tanulmányozására , amelyekre bizonyos szimmetriák jelenlétében át lehet térni a szoliton egyenletekből. Ezek az egyenletek az úgynevezett Painlevé tulajdonsággal rendelkeznek : minden megoldásuk egyértékű mozgó szinguláris pont közelében . Mark Ablowitz az ODE ezen tulajdonságának használatát javasolta az eredeti szoliton egyenletek integrálhatóságának ellenőrzésére. Kruskal leegyszerűsítette az ellenőrzési eljárást, és számos fontos fizikai esetre alkalmazta (például a mágneses térben lévő spinlánc problémájára). Az aszimptotikus elemzés alapján Clarksonnal együtt kiterjesztette az integrálhatósági vizsgálati eljárást több szinguláris pontra egyszerre (az úgynevezett poly-Painlevé teszt ). Nalinivel közös munkában Joshi Kruskal, az első elvekből kiindulva, közvetlen bizonyítékot adott a Painlevé-egyenletek Painlevé tulajdonságára. A problémák mély megértését a kétdimenziós kristályok növekedésének vagy egyes terepi modellek tulajdonságainak vizsgálatával kapcsolatos konkrét problémák megoldására is alkalmazta [22] [23] .

Egyéb munkák

Pályafutása végén Kruskal aktívan tanulmányozta az úgynevezett szürreális számokat . Különösen jelentős mértékben járult hozzá a szürreális függvények szerkezetének meghatározásához és elemzéséhez, kapcsolatot teremtett a szürreális számok és az aszimptotika között , valamint a szürreális függvények egyes integráljainak létezésének problémáját tanulmányozta [24] .

Kruskal nagy figyelmet fordított az aszimptotikus analízis módszereinek alkalmazására és fejlesztésére, sőt bevezetett egy speciális „aszimptotológia” kifejezést is , amelyet külön tudományterületnek tekintett, és megfogalmazta annak alapelveit. Definíciója szerint az aszimptotológia "az alkalmazott matematikai rendszerekkel való kezelés művészete korlátozott esetekben" [25] .

Díjak és tagságok

• Az Egyesült Államok Nemzeti Tudományos Akadémia díja alkalmazott matematikában (1977) [26]
• Gibbs-előadás (1979) [27]
• Az Egyesült Államok Nemzeti Tudományos Akadémia tagja (1980) [28]
• Az Amerikai Művészeti és Tudományos Akadémia tagja (1983) [29]
• Danny Heineman-díj matematikai fizikában (1983) „az általános relativitáselmélethez, a plazmafizikához és különösen a fizika számos területén hasznos, különleges nemlineáris differenciálegyenletek elméletéhez való jelentős hozzájárulásáért” [30]
• Howard Potts Medal (1986) "a matematikai fizika területén végzett munkáért, valamint az elemzés és számítás kreatív kombinációiért, valamint a szolitonok tulajdonságaival kapcsolatos munkáért" [31]
• US National Medal of Science (1993) "a nemlineáris tudományra gyakorolt ​​több mint két évtizedes vezető befolyásáért, mint a nemlineáris evolúciós egyenletek szoliton-megoldásának elméletének fő tervezője" [32]
• John von Neumann előadása (1994) [3]
• A Londoni Királyi Társaság külföldi tagja (1997) [33]
• A Heriot-Watt Egyetem díszdoktora ( 2000) [33]
• Az Orosz Természettudományi Akadémia külföldi tagja (2000) [3] [33]
• Az Edinburgh-i Királyi Társaság tiszteletbeli tagja (2001) [33]
• A Nemzetközi Ipari és Alkalmazott Matematikai Tanács Maxwell-díja (2003) „az általa szolitonoknak nevezett magányos hullámok részecskeszerű viselkedésének felfedezéséért; a visszaszórásos transzformációs módszer bevezetése a KdV egyenlet kiindulási feladatának megoldására; és sok más eredményért a matematikai fizikában" [34]
• Steele-díj (2006) az 1974-es „Korteweg-deVries egyenlet és általánosítások. VI. Módszerek a pontos megoldáshoz" [35]

Válogatott kiadványok

Martin Kruskal publikációinak teljes listája megtalálható a 2017-es életrajzának [36] mellékletében .

• Kruskal MD, Schwarzschild M. A teljesen ionizált plazma néhány instabilitása // Proceedings of the Royal Society of London . - 1954. - 1. évf. A223, 1154. sz . - P. 348-360. - doi : 10.1098/rspa.1954.0120 .
• Bernstein IB, Greene JM, Kruskal MD Pontos nemlineáris plazmaoszcillációk // Fizikai áttekintés . - 1957. - 1. évf. 108, 3. sz . - P. 546-550. - doi : 10.1103/PhysRev.108.546 .
• Bernstein IB, Frieman EA, Kruskal MD, Kulsrud RM Egy energiaelv a hidromágneses stabilitási problémákhoz // Proceedings of the Royal Society of London. - 1958. - 1. évf. A244, 1236. sz . - P. 17-40. - doi : 10.1098/rspa.1958.0023 .
• Kruskal MD, Kulsrud RM Mágnesesen zárt plazma egyensúlya toroidban // Physics of Fluids . - 1958. - 1. évf. 1, 4. sz . - P. 265-274. - doi : 10.1063/1.1705884 .
• Kruskal MD, Oberman CR A plazma stabilitásáról statikus egyensúlyban // Physics of Fluids. - 1958. - 1. évf. 1, 4. sz . - 275-280. - doi : 10.1063/1.1705885 .
• Kruskal MD, Johnson JL, Gottlieb MB, Goldman LM Hidromágneses instabilitás egy sztellarátorban // Folyadékok fizika. - 1958. - 1. évf. 1, 5. sz . - P. 421-429. - doi : 10.1063/1.1724359 .
• Kruskal MD A Schwarzschild-metrika maximális kiterjesztése // Fizikai áttekintés. - 1960. - 1. évf. 119, 5. sz . - P. 1743-1745. - doi : 10.1103/PhysRev.119.1743 .
• Kruskal MD Hamilton és más rendszerek aszimptotikus elmélete, minden megoldással majdnem periodikus // Journal of Mathematical Physics . - 1962. - 1. évf. 3, 4. sz . - P. 806-828. - doi : 10.1063/1.1724285 . Orosz fordítás: Kruskal M. Adiabatikus invariánsok: Hamilton-egyenletek és más differenciálegyenlet-rendszerek aszimptotikus elmélete, amelyek minden megoldása megközelítőleg periodikus. - M .: Külföldi Irodalmi Kiadó , 1962. - 92 p.
• Kruskal MD Aszimptotológia  // Matematikai modellek a fizikai tudományokban: A fizikai tudományok matematikai modelljeiről szóló konferencia anyaga / szerk. S. Drobot, P. A. Viebrock. - Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1963. - P. 17-48.
• Zabusky NJ, Kruskal MD A "szolitonok" kölcsönhatása ütközésmentes plazmában és a kezdeti állapotok ismétlődése // Physical Review Letters . - 1965. - 1. évf. 15, 6. sz . - P. 240-243. - doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
• Gardner CS, Greene JM, Kruskal MD, Miura RM Method for solving the Korteweg-deVries egyenlet // Physical Review Letters. - 1967. - 1. évf. 19., 19. sz . - P. 1095-1097. - doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1095 .
• Gardner CS, Greene JM, Kruskal MD, Miura RM Korteweg-deVries egyenlet és általánosítások. VI. Módszerek az egzakt megoldáshoz  // Kommunikáció a tiszta és alkalmazott matematikáról . - 1974. - 1. évf. 27, 1. sz . - P. 97-133. - doi : 10.1002/cpa.3160270108 .
• Jimbo M., Kruskal MD, Miwa T. Painlevé teszt az önkettős Yang-Mills egyenlethez // Physics Letters A. - 1982. - Vol. 92, 2. sz . - P. 59-60. - doi : 10.1016/0375-9601(82)90291-2 .
• Segur H., Kruskal MD Kis amplitúdójú légtelenítő megoldások elméleti hiánya // Physical Review Letters. - 1987. - 1. évf. 58, 8. sz . - 747-750. - doi : 10.1103/PhysRevLett.58.747 .
• Kruskal MD, Segur H. Minden rendet meghaladó aszimptotika a kristálynövekedés modelljében  // Studies in Applied Mathematics. - 1991. - 1. évf. 85, 2. sz . - P. 129-181. - doi : 10.1002/sapm1991852129 .
• Joshi N., Kruskal MD Közvetlen bizonyítéka annak, hogy a hat Painlevé-egyenlet megoldásainak nincs mozgatható szingularitása, kivéve a pólusokat // Studies in Applied Mathematics. - 1994. - 1. évf. 93, 3. sz . - P. 187-207. - doi : 10.1002/sapm1994933187 .

Jegyzetek

1. ↑ Richard D. Brown „Dorpattól Amerikáig. Az észt Kruskal család az USA-ban” : A Kruskal család a litván rabbinikus dinasztia leszármazottja , Samuil Kruskal és Slava Kruskal matematikusok ugyanabból a családból származtak .
2. ↑ 1 2 Gibbon et al., 2017 , p. 264.
3. ↑ 1 2 3 4 5 Zabusky és Miura, 2007 .
4. ↑ Lagarias JC, Rains E., Vanderbei RJ A Kruskal gróf // A preferencia, választás és rend matematikája / S. Brams, WV Gehrlein, FS Roberts. - Springer, 2009. - P. 371-391. - arXiv : math/0110143 .
5. ↑ Gibbon et al., 2017 , pp. 264-265.
6. ↑ Deift, 2016 , pp. 3-4.
7. ↑ 1 2 3 Gibbon et al., 2017 , pp. 266-267.
8. ↑ Shafranov, 2001 , p. 878.
9. ↑ Artsimovich, 1963 , p. 111-116.
10. ↑ Artsimovich, 1963 , p. 226.
11. ↑ Artsimovich, 1963 , (6.1) egyenlet, p. 231.
12. ↑ 1 2 Gibbon et al., 2017 , p. 267.
13. ↑ 1 2 Gibbon et al., 2017 , p. 268.
14. ↑ Gibbon et al., 2017 , pp. 268-270.
15. ↑ Deift, 2016 , p. 5.
16. ↑ 1 2 3 Gibbon et al., 2017 , pp. 272-273.
17. ↑ Whitham, 1977 , p. 437-439.
18. ↑ Whitham, 1977 , p. 449.
19. ↑ Whitham, 1977 , p. 560-565.
20. ↑ Gibbon et al., 2017 , pp. 273-275.
21. ↑ Deift, 2016 , p. 7.
22. ↑ Gibbon et al., 2017 , pp. 275-278.
23. ↑ Deift, 2016 , p. nyolc.
24. ↑ Deift, 2016 , p. 9.
25. ↑ Deift, 2016 , pp. 9-10.
26. ↑ NAS-díj az alkalmazott matematikában és a numerikus elemzésben . Nemzeti Tudományos Akadémia. Letöltve: 2018. november 3. Az eredetiből archiválva : 2018. november 1.. (határozatlan)
27. ↑ Josiah Willard Gibbs előadások . Amerikai Matematikai Társaság. Letöltve: 2018. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2015. május 1.. (határozatlan)
28. ↑ Martin D. Kruskal . Nemzeti Tudományos Akadémia. Letöltve: 2018. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2018. szeptember 5.. (határozatlan)
29. ↑ Martin David Kruskal professzor (elérhetetlen link) . Amerikai Művészeti és Tudományos Akadémia. Letöltve: 2018. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2018. szeptember 5.. (határozatlan) 
30. ↑ 1983-ban Dannie Heineman-díj matematikai fizika díjazottja . Amerikai Fizikai Társaság. Letöltve: 2018. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2018. szeptember 5.. (határozatlan)
31. ↑ Martin D. Kruskal . A Franklin Intézet díjai . A Franklin Intézet. Letöltve: 2018. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2017. február 14. (határozatlan)
32. ↑ Az Elnök Nemzeti Tudományos Érme: A díjazott adatai . Nemzeti Tudományos Alapítvány. Letöltve: 2018. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2018. szeptember 5.. (határozatlan)
33. ↑ 1 2 3 4 Gibbon et al., 2017 , p. 266.
34. ↑ ICIAM-díjak 2003-ra . ICIAM. Letöltve: 2018. november 3. Az eredetiből archiválva : 2018. november 3. (határozatlan)
35. ↑ Leroy P. Steele-díj a kutatáshoz való jelentős hozzájárulásért . Amerikai Matematikai Társaság. Letöltve: 2018. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2016. szeptember 22.. (határozatlan)
36. ↑ Gibbon JD, Cowley SC, Joshi N., MacCallum MAH Kiegészítő anyag a "Martin David Kruskaltól. 1925. szeptember 28. – 2006. december 26." // The Royal Society. Gyűjtemény. - 2017. - doi : 10.6084/m9.figshare.c.3858463.v1 .

Irodalom

Fő

• Deift P. Martin D. Kruskal  // Nemzeti Tudományos Akadémia Életrajzi emlékei. - Nemzeti Tudományos Akadémia, 2016. - P. 1-13.
• Gibbon JD, Cowley SC, Joshi N., MacCallum MAH Martin David Kruskal // A Royal Society tagjainak életrajzi emlékei. - 2017. - Kt. 64. - P. 261-284. - doi : 10.1098/rsbm.2017.0022 . - arXiv : 1707.00139 .
• Maugh T. H. Martin Kruskal, 81 éves; a matematikusok hullámkutatása átgyűrűzött a tudományokon  // Los Angeles Times . - 2007. - január 6. szám .
• Pearce J. Martin D. Kruskal meghal; A matematikus 81 éves volt  // The New York Times . - 2007. - január 13. szám .
• Zabusky NJ, Miura RM Martin David Kruskal // Fizika ma . - 2007. - Vol. 60, 5. sz . - P. 82. - doi : 10.1063/1.2743135 .
• 81 éves korában meghalt Martin Kruskal, a kiváló matematikus  // Princeton Weekly Bulletin. - 2007. - Vol. 96, 14. sz .
• Khramov Yu. A. Kruskal Martin David // Fizikusok: Életrajzi útmutató / Szerk. A. I. Akhiezer . - Szerk. 2., rev. és további — M  .: Nauka , 1983. — S. 146. — ​​400 p. - 200 000 példányban.

További

• Artsimovich L. A. Szabályozott termonukleáris reakciók. - Szerk. 2. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 490 p.
• Whitham J. Lineáris és nemlineáris hullámok. — M .: Mir , 1977. — 624 p.
• Shafranov V. D. A termonukleáris kutatás történetének első időszaka a Kurchatov Intézetben  // UFN . - 2001. - T. 171 , 8. sz . - S. 877-886 .

Tematikus oldalak	Matematikai genealógia Scopus zbMATH Nyitva Össz-orosz matematikai portál Archívum a matematika történetéhez MacTutor
Bibliográfiai katalógusokban BNF : 15023213w CONOR : 93132387 GND : 1089107838 ISNI : 0000 0001 1473 9103 J9U : 987009747792705171 LCCN : n85186859 NKC : kv2015885069 NTA : 071749314 NUKAT : n2006104544 SUDOC : 103579117 VIAF : 64286208 WorldCat VIAF : 64286208