Koordináta tér

Minden fizikai jelenség leírható különböző terekben: koordináta, impulzus , fázis stb. A leírások matematikailag egyenértékűek, de különböznek a leírás összetettségében és intuitív jellegében. A legtöbb esetben a koordinátatér intuitív és a legkönnyebben érthető a benne zajló folyamat, azonban a szilárdtestfizikában általában kényelmesebb az impulzusleírás használata.

Definíció

Nevezzük az [1] -dimenziós vektort a mező számhalmazának, ezek a számok a vektor koordinátái A határozottság kedvéért azt mondjuk, hogy az adott vektor sugárvektor , bár erre nincs szükség. $n$ $n$ $P,$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}).$ ${\vec {r))$

A -dimenziós vektorok halmaza, amelyekhez a műveletek definiálva vannak: $n$

${\vec {a}}={\vec {b}}\;\leftrightarrow \;\left\{{\begin{matrix}a_{1}=b_{1}\\a_{2}=b_{2 }\\\lpontok \\a_{n}=b_{n}\end{mátrix}}\jobbra.$
${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n })$
$\lambda \cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot a_{1},\;\lambda \cdot a_{2},\ldots ,\lambda \cdot a_{n})$

-dimenziós aritmetikai térnek vagy -dimenziós koordinátatérnek nevezzük . $n$ $n$ $P^{n}$

Tulajdonságok

Hadd $\exists {\vec {0}}=(0,0,\lpontok ,0),{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\ lambda \in \mathbb{R} ,\mu \in \mathbb{R}$

Aszociativitás :

({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}} )

Kommutativitás :

{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}

Az egyenlet megoldásának egyedisége :

\forall {\vec {a)),{\vec {b}}\;\exists !\;{\vec {x}}\in P^{n}\;:\;{\vec {a}} +{\vec {x}}={\vec {b}}

A semleges elem létezése :

\forall {\vec {a}}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}

Az ellentétes vektor létezése:

\forall {\vec {a}}\;\exists {\vec {b}}(b_{1}=-a_{1},\;b_{2}=-a_{2},\ldots ,b_{ n}=-a_{n})\;:\;{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}

A skaláris szorzás asszociativitása :

\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R} \;:\;\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a)))=(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {a}}

A szorzás eloszlása a skalárok összeadásával kapcsolatban:

(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {\vec {a}}

A szorzás eloszlása a vektorösszeadás függvényében:

\lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}

Bázisvektorok létezése:

Hadd

\left\{{\begin{matrix}{\vec {v_{1}}}={\vec {v_{1}}}(1,0,\ldots ,0)\\{\vec {v_{2 }}}={\vec {v_{2}}}(0,1,\ldots ,0)\\\vdots \\{\vec {v_{n}}}={\vec {v_{n}} }(0,0,\lpontok ,1)\end{mátrix}}\jobbra.

Akkor

Ezek a vektorok lineárisan függetlenek
Bármely vektor ábrázolható így ${\vec {v}}={\vec {v}}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ ${\vec {v}}=v_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +v_{n}\ cdot {\vec {v_{n))}$

Operátorok a koordinátatérben

Minden operátor általánosítható a -dimenziós esetre, azonban az egyszerűség kedvéért ebben a részben csak a háromdimenziós eseteket vesszük figyelembe. $n$

laplák :

\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}

Nabla :

\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec { k))

Laplace vektor operátor [2] :

{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})

Momentum operátor :

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Lásd még

Jegyzetek