Elérhetőség

Kontaktszám (néha Newton-szám [1] [2] , a kémiában a [2] koordinációs számnak felel meg) - az egységsugarú golyók maximális száma, amelyek egyidejűleg érinthetik ugyanazt a golyót az n - dimenziós euklideszi térben (ez feltételezzük, hogy a golyók nem hatolnak be egymásba, azaz bármely két golyó metszéspontja nulla).

Meg kell különböztetni a kapcsolati számot a rácson lévő kapcsolati számtól [3]  - ez hasonló paraméter a golyók legsűrűbb szabályos csomagolásához . A telefonszám kiszámítása általános esetben még megoldatlan matematikai probléma .

Történelem

Egydimenziós esetben legfeljebb két egységnyi hosszúságú szegmens érintheti ugyanazt a szegmenst:

A kétdimenziós esetben a probléma úgy értelmezhető, hogy megtaláljuk a középsőt érintő érmék maximális számát. Az ábra azt mutatja, hogy legfeljebb 6 érmét helyezhet el:

Ez azt jelenti, hogy . Másrészt minden érintőkör 60°-os ívet vág le a központi körön, és ezek az ívek nem metszik egymást, tehát . Látható, hogy ebben az esetben a felülről és alulról származó becslések egybeesnek és .

A háromdimenziós esetben golyókról beszélünk. Itt is könnyű olyan példát konstruálni, amelyben 12 golyó érinti a központit - ezek az ikozaéder csúcsaiban helyezkednek el  - ezért . Ezt az alsó határt már Newton is ismerte .

Ez az elrendezés laza, elég észrevehető hézagok lesznek a golyók között. A felülről jövő becslés okozta a jól ismert vitát Newton és D. Gregory között 1694-ben. Newton ezzel érvelt , Gregory pedig kifogásolta, hogy lehetséges lenne 13 golyót elrendezni. Számításokat végzett, és megállapította, hogy a központi golyó területe több mint 14-szerese az egyes érintkező golyók vetületének területének, tehát . Ha megengedi a golyók sugarának 2%-os megváltoztatását, akkor akár 14 golyót is meghajthat.

Csak 1953-ban, Schütte és van der Waerden [4] cikkében állapították meg végre, hogy Newtonnak igaza volt, a szigorú bizonyítékok hiánya ellenére.

A négydimenziós esetben meglehetősen nehéz elképzelni a golyókat. 24 négydimenziós gömb elhelyezése a központi gömb körül régóta ismert. , ugyanolyan szabályos, mint a kétdimenziós esetben, és egyben megoldja a rácson lévő kapcsolati szám problémát. Ez ugyanaz az elhelyezés, mint az egész egységnegyedek .

Ezt az elrendezést 1900-ban kifejezetten kimondta Gosset [5] . Még korábban, 1872-ben találták meg (egy ekvivalens feladatban) Korkin és Zolotarev orosz matematikusok [6] [7] . Ez a hely alulról adott értékelést .

A szám felülről történő becslésére tett kísérletek finom függvényelméleti módszerek kidolgozásához vezettek, de pontos eredményt nem adtak. Először sikerült bebizonyítanunk, hogy , majd sikerült csökkenteni a felső határt -ra . Végül 2003-ban Oleg Musin orosz matematikusnak sikerült ezt bebizonyítania [8] .

A 8. és 24. dimenzióban pontos becslést kaptak az 1970-es években [9] [10] . A bizonyítás alapja az érintkezési szám és a rácson lévő kapcsolati szám egyenlősége ezekben a méretekben: az E8 rács (8-as mérethez) és a Leach-rács (24-es mérethez).

Ismert értékek és becslések

Jelenleg a kapcsolati számok pontos értéke csak a , de a és a számára is ismert . Néhány más érték esetében ismert a felső és az alsó határ.

Dimenzió A lényeg Felső határ
egy 2
2 6
3 12
négy 24 [8]
5 40 44 [11]
6 72 78 [11]
7 126 134 [11]
nyolc 240
9 306 364 [11]
tíz 500 554
tizenegy 582 870
12 840 1 357
13 1154 [12] 2069
tizennégy 1606 [12] 3 183
tizenöt 2564 4 866
16 4 320 7 355
17 5 346 11 072
tizennyolc 7 398 16 572 [11]
19 10 688 24 812 [11]
húsz 17 400 36 764 [11]
21 27 720 54 584 [11]
22 49 896 82 340
23 93 150 124 416
24 196 560

Alkalmazások

A probléma gyakorlati alkalmazása a kódoláselméletben. 1948-ban Claude Shannon közzétett egy információelméleti tanulmányt, amely bemutatja a hibamentes adatátvitel lehetőségét zajos kommunikációs csatornákon, az egységgömbök n-dimenziós térben történő csomagolási koordinátái segítségével. Lásd még: Hamming-távolság .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Yaglom, I. M. A tizenhárom labdás probléma . - Kijev: Vishcha iskola, 1975. - 84 p.
  2. ↑ 1 2 J. Conway, N. Sloan. Labdák, rácsok és csoportok csomagolása . - M . : Mir, 1990. - T. 1. - 415 p. — ISBN 5-03-002368-2 . Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2011. május 29. Az eredetiből archiválva : 2014. október 6.. 
  3. ↑ Rács kapcsolati számok: OEIS sorozat A001116
  4. ↑ Schütte, K. és van der Waerden, BL Das Problem der dreizehn Kugeln  (határozatlan)  // Math. Ann. . - 1953. - T. 125 , 1. sz . - S. 325-334 . - doi : 10.1007/BF01343127 .
  5. ↑ Gosset, Thorold. Az n dimenziós tér szabályos és félreguláris alakjairól  // A matematika  hírnöke : folyóirat. - 1900. - 1. köt. 29 . - P. 43-48 .
  6. ↑ Korkine A., Zolotareff G. Sur les formesatiques positives  quaternaires (neopr.)  // Math. Ann. . - 1872. - V. 5 , 4. sz . - S. 581-583 . - doi : 10.1007/BF01442912 . Rus. ford.: Zolotarev E. I. Teljes. koll. op. - L . : Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1931. - S. 66-68.
  7. ↑ N. N. Andrejev, V. A. Judin. Másodfokú forma és gömbkódok arfimetikus minimuma  // Matematikai oktatás . - 1998. - 2. sz . - S. 133-140 .
  8. ↑ 1 2 Musin O. R. A huszonöt gömb problémája  // Advances in Mathematical Sciences . - Orosz Tudományos Akadémia , 2003. - T. 58 , No. 4 (352) . - S. 153-154 .
  9. ↑ Levenshtein V. I. Az n - dimenziós euklideszi térben lévő töltetek határairól // DAN SSSR. - 1979. - T. 245 . - S. 1299-1303 .
  10. ↑ A.M. Odlyzko, Sloane NJA. Új korlátok azon egységgömbök számára vonatkozóan, amelyek n méretben  érinthetik meg az egységgömböt //  J. Combin. Elmélet Ser. A  : napló. - 1979. - 1. évf. 26 . - P. 210-214 . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .
  11. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Hans D. Mittelmann és Frank Vallentin. [ http://arxiv.org/abs/0902.1105 Nagy pontosságú félig meghatározott programozási határok csókoló számokhoz] // Kísérleti matematika. - 2010. - T. 19 , 2. sz . - S. 174-178 .
  12. ↑ 1 2 V. A. Zinovjev, T. Erickson. Új alsó határok a kis méretű kapcsolati  számhoz // Probl. információtovábbítás .. - 1999. - T. 35 , 4. sz . - S. 3-11 .

Linkek