Kúpos koordináták

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A kúpkoordináták egy háromdimenziós merőleges koordinátarendszer, amely koncentrikus gömbökből ( r sugár) és két, a z és x tengely mentén irányított, merőleges kúpcsaládból áll .

Alapdefiníciók

A kúpos koordinátákat a kifejezések határozzák meg $(r,\mu ,\nu )$

x={\frac {r\mu \nu }{bc)),

y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}- b^{2}\jobbra)}{\left(b^{2}-c^{2}\jobbra)}}},

z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}- c^{2}\jobbra)}{\left(c^{2}-b^{2}\jobbra)}}},

míg a koordinátákra korlátozások vonatkoznak

\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.

Az r konstans felületei r sugarú gömbök, amelyek középpontja az origóban van:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},

állandók felületei és egymásra merőleges kúpok : $\mu$ $\nu$

{\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}+b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0

és

{\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\nu ^{2}+c^{2}}}=0.

Scale Factors

Az r sugár méretezési tényezője egy ( h r = 1 ), mint a gömbkoordinátákban. Kúpos koordináták esetén a léptéktényezők a következők

h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\mu ^{2}\right) \left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}

és

h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\nu ^{2}\right) \left(c^{2}-\nu ^{2}\jobbra)}}}.

Egy másik meghatározás

Van egy másik kúpos koordinátakészlet: [1]

${\begin{aligned}\xi &=r\cos \phi \sin \theta ,\\\psi &=r\sin \phi \sin \theta ,\\\zeta &=\theta ,\end {igazított}}$

hol vannak a gömbi poláris koordináták. Fordított konverzió: ${\displaystyle \{r,\theta ,\phi \))$

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\xi ^{2}+\psi ^{2}}},\\\phi &={\frac {1}{\sin \zeta }} \operátornév {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )),\\\theta &=\zeta .\end{igazított))$

Kis euklideszi távolság két pont között adott koordinátákon:

{\begin{aligned}ds^{2}&=d\xi ^{2}+d\psi ^{2}+(\xi ^{2}+\psi ^{2})(1+ \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))^{2}\operátornév {ctg} \zeta ^{2})d\zeta ^{2}+\\&+2\psi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))\operatorname {ctg} \zeta d\xi d\zeta -2\xi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{ \xi }})\operátornév {ctg} \zeta d\psi d\zeta .\end{aligned}}

Ha a két pont közötti utat egy kúp felülete korlátozza , akkor a két pont közötti geodéziai távolságot a következőképpen fejezzük ki: $\zeta ={\frac {\pi }{4))$ ${\displaystyle \{\xi _{1},\psi _{1},\zeta _{1}={\frac {\pi }{4))\))$ ${\displaystyle \{\xi _{2},\psi _{2},\zeta _{2}={\frac {\pi }{4))\))$ $s_{12}^{2}=(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\psi _{1}-\psi _{2})^{2 }.$

Jegyzetek

↑ Drake, Samuel Picton; Anderson, Brian D.O.; Yu, Changbin. Elektromágneses jelek ok-okozati összefüggése a Cayley–Menger determináns használatával (angol) // Applied Physics Letters : Journal. - 2009. - július 20. ( 95. évf. , 3. sz.). — P. 034106 . — ISSN 0003-6951 . - doi : 10.1063/1.3180815 .

Irodalom

Morse PM, Feshbach H. Az elméleti fizika módszerei, I. rész (neopr.) . - New York: McGraw-Hill Education , 1953. - P. 659. - ISBN 0-07-043316-X .
Margenau H., Murphy GM A fizika és kémia matematikája (meghatározatlan) . - New York: D. van Nostrand, 1956. - S. 183-184 .
Korn GA, Korn TM matematikai kézikönyv tudósoknak és mérnököknek (angol) . - New York: McGraw-Hill Education , 1961. - 179. o.
Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (neopr.) . - New York: Springer Verlag , 1967. - S. 991-100.
Arfken G. Matematikai módszerek fizikusok számára (határozatlan) . — 2. - Orlando, FL: Academic Press , 1970. - 118-119.
Moon P., Spencer DE Kúpos koordináták (r, θ, λ) // Field Theory Handbook, beleértve a koordinátarendszereket, differenciálegyenleteket és megoldásaikat (angol) . javított 2. kiadás, 3. nyomat. - New York: Springer-Verlag , 1988. - P. 37-40 (1.09. táblázat). — ISBN 978-0-387-18430-2 .

Linkek

A MathWorld kúpos koordinátáinak leírása

Koordináta rendszerek
A koordináták neve	Abszcissza Ordináta Rátét
A koordinátarendszerek típusai	Egyenes koordinátarendszer Görbe vonalú koordinátarendszer
2D koordináták	Kétszög koordináták Bicentrikus koordináták Hiperbolikus koordináták Poláris koordináták Bipoláris koordináták Parabolikus koordináták Elliptikus koordináták Tetraciklikus koordináták Trilineáris koordináták
3D koordináták	Hengeres koordináták Gömb koordináták Biszférikus koordináták Toroidális koordináták Hengeres parabola koordináták Bicilinderes koordináták Ellipszoid koordináták Kúpos koordináták Pentaszférikus koordináták Dipoláris koordinátarendszer
$n$ - dimenziós koordináták	Derékszögű koordináták Affin koordináták Projektív koordináták Plücker koordináták baricentrikus koordináták
Fizikai koordináták	Rindler koordináták Született koordináták Égi koordináta-rendszer Földrajzi koordináták Fő ortodromikus koordinátarendszer
Kapcsolódó definíciók	Koordináta módszer Eredet Koordináta tengely Vektor Orth referenciarendszer Viszonyítási alap Béna együtthatók Metrikus tenzor