A De Rham - kohomológia egy kohemológiaelmélet , amely differenciális formákon alapul, és a sima és algebrai változatok elméleteiben alkalmazzák .
Nevét de Rham svájci matematikusról kapta . Egy sokaság -dimenziós de Rham-kohomológia csoportját általában jelölik .
A de Rham -komplexus külső differenciálformák kochain-komplexuma egy sima elosztón , külső differenciálművel differenciálműként.
Itt van a sima függvények tere -on , az 1-es alakok tere , vagyis a -formák tere . Jegyezze meg, hogy . - ennek a cochain komplexnek a dimenziós kohomológiai csoportja a pontosság mértéke a -edik kifejezésben, és a következőképpen definiálható:
Vegye figyelembe, hogy minden pontos űrlap zárva van.
Az űrlapok ekvivalenciaosztályakéntGeometriailag a de Rham-kohomológia gondolata az, hogy a zárt formákat egy sokaságon osztályozza: két zárt formát , és akkor mondjuk kohomológiainak , ha pontos alakban különböznek egymástól, azaz különbségük egy egzakt forma. Ez a definíció egy ekvivalencia relációt generál a zárt formák halmazán .
Egy forma kohomológiai osztálya az összes olyan zárt alak halmaza, amely egy egzakt alakban különbözik, vagyis a forma alakhalmaza .
A -dimenziós de Rham-kohomológia csoport az összes zárt forma hányadoscsoportja az egzakt formák alcsoportjával.
Vegye figyelembe, hogy a csatlakoztatott alkatrészekkel ellátott elosztó esetén
Valójában a 0 fokú alakok skaláris függvények. A zártság azt jelenti, hogy a függvényeknek nulla deriváltjuk van, vagyis az elosztó minden kapcsolt komponensén állandóak.
Stokes tétele a de Rham-kohomológia és a lánckomplex homológia kettősségének kifejezése . Ugyanis a tétel kulcskövetkezménye az, hogy „a zárt forma integráljai homológ láncokon egyenlők”: if zárt -forma, és és homológ -láncok (vagyis egy -dimenziós lánc határa ) , akkor
mivel különbségük egy integrál
Így a differenciális formák és láncok párosítása az integráción keresztül meghatározza a homomorfizmust a de Rham-kohomológiától a szinguláris kohomológiai csoportig . De Rham tétele , amelyet Georges de Rham 1931-ben bizonyított, kimondja, hogy sima sokaságon ez a leképezés izomorfizmus :
A külső szorzat a csoportok közvetlen összegét gyűrű szerkezettel ruházza fel . A szinguláris kohomológiában hasonló szerkezetet ad a -szorzás . De Rham tétele azt is kimondja, hogy ez a két kohomológiai gyűrű izomorf, mint osztályozott gyűrű .
A sima esethez hasonlóan, egy mezőn belül minden algebrai változat szabályos differenciálformák komplexéhez kapcsolódik .
Egy fajta de Rham-kohomológiai csoportjait kohomológiai csoportoknak nevezzük .
Bármely morfizmushoz meghatározható az úgynevezett relatív de Rham komplex
ami a relatív de Rham-kohomológiához vezet .
Ha a változat a gyűrű spektruma , és akkor a relatív de Rham komplex egybeesik -vel .
A kévék komplexének kohomológiáját a relatív de Rham-kohomológia köveinek nevezzük . Ha megfelelő morfizmus, akkor ezek a tekercsek koherensek a -n .