Kanonikus átalakítás

A hamiltoni mechanikában a kanonikus transzformáció (szintén kontakttranszformáció ) a kanonikus változók transzformációja, amely nem változtatja meg a Hamilton-egyenletek általános alakját egyetlen Hamilton-féle esetén sem. A kanonikus transzformációk kvantumesetben is bevezethetők, mivel nem változtatják meg a Heisenberg-egyenletek alakját . Lehetővé teszik, hogy egy bizonyos Hamilton-féle problémát egy egyszerűbb Hamilton-problémára redukáljunk mind a klasszikus, mind a kvantum esetben. A kanonikus transzformációk alkotják a csoportot .

Definíció

Átváltozások

Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),

P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),

j=1,\ldots ,s,

, hol a szabadsági fokok száma ,

s

{\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots ,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots ,q_ {s};q_{1},\ldots ,q_{s})}}\neq 0,

kanonikusnak mondjuk, ha ez a transzformáció lefordítja a Hamilton-egyenleteket a Hamilton- függvénnyel : $H$

{\pont {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},

{\pont {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},

a Hamilton-egyenletekbe a Hamilton-függvénnyel : ${\mathcal {H}}$

{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},

{\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.

A és változókat új koordinátáknak és momentumoknak, míg a és a régi koordinátáknak és impulzusoknak nevezzük . $Q_{i}$ $P_{i}$ $q_{i}$ $p_{i}$

Függvények generálása

A Poincaré-Cartan integrál változatlanságából és Lee Hua-chung egyediségére vonatkozó tételéből a következőt kaphatjuk:

\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^ {s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,

ahol az állandót a kanonikus transzformáció vegyértékének nevezzük, az valamilyen függvény teljes differenciája (feltételezzük, hogy és a régi változókkal is kifejezve). Ezt a kanonikus transzformáció generáló függvényének nevezzük . A kanonikus transzformációkat egytől egyig a generáló függvény és a vegyérték határozza meg. $c\neq 0$ $dF$ $F(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t)$ $P_{i}$ $Q_{i}$

A kanonikus transzformációkat egyvalensnek nevezzük . Mivel egy adott generáló függvénynél a különbözőek a régi koordinátákon keresztül változtatják meg az új koordináták kifejezéseit, és a Hamilton-koordináta esetében is csak konstanssal, gyakran csak egyvalens kanonikus transzformációkat vesznek figyelembe. $c=1$ $c$

A generáló függvény gyakran nem a régi koordinátákkal és momentumokkal fejezhető ki, hanem a négy változó közül bármelyik kettővel , és a választás mindegyik esetében független . Kényelmesnek bizonyul úgy kifejezni, hogy mindegyik változónál új, a másik pedig régi. Van egy lemma, amely szerint ezt mindig meg lehet tenni. Egy függvény differenciáljának van egy explicit formája a teljes differenciálnak, ha régi és új koordinátákkal fejezzük ki . Más koordinátapárok használatakor célszerű áttérni olyan függvényekre, amelyek differenciáljának kifejezett alakja lesz a megfelelő változók összdifferenciáljában. Ehhez az eredeti függvény Legendre-transzformációit kell végrehajtania . Az így kapott függvényeket a megfelelő koordinátákban a kanonikus transzformáció generáló függvényeinek nevezzük . Abban az esetben, ha a koordináták kiválasztása mindenki számára azonos , négy lehetőség van a változók kiválasztására, a megfelelő függvényeket általában számokkal jelöljük: ${\displaystyle p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i))$ $i=1,\cdots ,s$ $én$ $F$ $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)$ $F$ $én$

F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}( p,P,t),

ahol az egyszerűség kedvéért bevezetjük a régi koordináták és momentum , , vektorait , és hasonlóan az új koordinátákhoz és momentumokhoz. Az ilyen generáló függvényeket 1., 2., 3. vagy 4. típusú generáló függvényeknek nevezzük. $q=(q_{1},\cdots ,q_{2})$ $p=(p_{1},\cdots ,p_{2})$

Az 1. típusú függvény generálása

Legyen a régi koordináták, az új koordináták és az idő tetszőleges nem degenerált függvénye: $F_{1}(q,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,

ezen kívül adott szám , akkor a pár meghatároz egy kanonikus transzformációt a szabály szerint $c\neq 0$ ${\megjelenítési stílus (F_{1},c)}$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q)),

P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.

Kapcsolat az eredeti generáló funkcióval:

F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).

A kanonikus transzformációt egy ilyen függvénnyel kaphatjuk meg, ha a jakobi nem nulla :

\det \left({\frac {\partial Q}{\partial p))\right)\neq 0.

Az ezzel a feltétellel kiegészített kanonikus transzformációkat szabadnak nevezzük .

A 2. típusú függvény generálása

Legyen a régi koordináták, új impulzusok és idő tetszőleges nem degenerált függvénye: $F_{2}(q,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.

ezen kívül adott szám , akkor a pár meghatároz egy kanonikus transzformációt a szabály szerint $c\neq 0$ $(F_{2},c)$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q)),

Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.

Kapcsolat az eredeti generáló funkcióval:

F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).

A kanonikus transzformációt egy ilyen függvénnyel kaphatjuk meg, ha a jakobi nem nulla :

\det \left({\frac {\partial P}{\partial p))\right)\neq 0.

A 3. típusú függvény generálása

Legyen a régi momentum, az új koordináták és az idő tetszőleges nem degenerált függvénye: $F_{3}(p,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.

ezen kívül adott szám , akkor a pár meghatároz egy kanonikus transzformációt a szabály szerint $c\neq 0$ $(F_{3},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p)),

P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.

Kapcsolat az eredeti generáló funkcióval:

F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).

A kanonikus transzformációt egy ilyen függvénnyel kaphatjuk meg, ha a jakobi nem nulla :

\det \left({\frac {\partial Q}{\partial q))\right)\neq 0.

A 4. típusú függvény generálása

Legyen régi impulzusok, új impulzusok és idő tetszőleges nem degenerált függvénye: $F_{4}(p,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.

ezen kívül adott szám , akkor a pár meghatároz egy kanonikus transzformációt a szabály szerint $c\neq 0$ $(F_{4},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p)),

Q={\frac {\partial F_{4)){\partial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.

Kapcsolat az eredeti generáló funkcióval:

F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p ,P,t).

A kanonikus transzformációt egy ilyen függvénnyel kaphatjuk meg, ha a jakobi nem nulla :

\det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.

Példák

1. Identitás transzformáció

Q=q,

P=p,

{\mathcal {H}}=H

beszerezhető:

F_{2}=qP,\quad c=1.

2. Ha beállítja

F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta ,

akkor a kapott transzformáció így fog kinézni:

Q=\alpha p,

P=\beta q.

{\mathcal {H}}=-\alpha \beta H

Így a kanonikus változók koordinátákra és momentumokra való felosztása matematikai szempontból feltételes.

3. Inverzió átalakítása

Q=-q,

P=-p,

{\mathcal {H}}=H

beszerezhető:

F_{2}=-qP,\quad c=1.

4. Ponttranszformációk (olyan transzformációk, amelyekben az új koordinátákat csak a régi koordinátákkal és időben fejezik ki, a régi impulzusokat nem.)

Mindig a következőkkel állíthatók be:

F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,

akkor

Q=\varphi(q,t).

Különösen, ha

F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,

hol van egy ortogonális mátrix : $A,$

A^{T}A=E,

akkor

Q=Aq,

P=A^{T}p.

A függvény ponttranszformációkhoz is vezet:

F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,

akkor

q=-\phi (Q,t).

Különösen a funkció

F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,

beállítja a derékszögű és hengeres koordináták közötti átmenetet .

5. Rendszerváltozók egy szabadságfokú lineáris transzformációja : $(p,q)$

Q=\alpha q+\beta p

P=\gamma q+\delta p

egy egyértékű kanonikus transzformáció a számára

\alpha \delta -\beta \gamma =1,

generáló funkció:

F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2 }.

Az ilyen transzformációk egy speciális lineáris csoportot alkotnak . $SL(2,\mathbb {R} )$

A művelet mint generáló függvény

A végpont koordinátáinak és momentumainak függvényében kifejezett cselekvés

{\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt

meghatározza a Hamilton-rendszer kanonikus átalakulását.

Poisson és Lagrange zárójelek

A transzformációk kanonikussá tételének szükséges és elégséges feltétele Poisson zárójelekkel írható fel :

\lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.

Emellett az átalakítás kanonikusságának szükséges és elégséges feltétele az tetszőleges funkciók teljesítése és a feltételek: $f(Q,P,t)$ $g(Q,P,t)$

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=c\lbrace f,g\rbrace _{PQ},

ahol és a Poisson zárójelek a régi és az új koordinátákban, ill. ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{pq))$ ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{PQ))$

Egyvalens kanonikus transzformációk esetén:

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}

és a Poisson zárójeleket invariánsnak mondják az ilyen transzformációk alatt. Néha a kanonikus transzformációkat definiálják így (ebben az esetben csak az egyértékű transzformációkat tekintjük kanonikus transzformációnak).

Hasonlóképpen, a transzformációk kanonicitásának szükséges és elégséges feltétele felírható Lagrange zárójelekkel :

[p_{i},p_{k}]=0,

[q_{i},q_{k}]=0,

[q_{i},p_{k}]=c\delta _{ik}.

Irodalom

Arnold VI . A klasszikus mechanika matematikai módszerei. - 5. kiadás, sztereotip. - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - 416 p. - 1500 példány. — ISBN 5-354-00341-5 .
A könyv a Moszkvai Állami Egyetem Mekhmat elektronikus könyvtárában található
Landau L. D., Lifshitz EM 46. §. Kanonikus transzformációk. fejezet VII. Kanonikus egyenletek. // Mechanika. - 5. kiadás, sztereotip. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 224 p. - 3000 példányban. - ISBN 5-9221-0055-6 . A könyv a Moszkvai Állami Egyetem Mekhmat elektronikus könyvtárában található
Gantmakher F. R. Előadások az analitikai mechanikáról. 3. kiadás - M. : Fizmatlit, 2005. - 264 p. — ISBN 5-9221-0067-X . .
Olkhovsky II elméleti mechanika tanfolyam fizikusok számára. 4. kiadás - Szentpétervár. : Lan, 2009. - 576 p. - ISBN 978-5-8114-0857-3 . .