Intervallum (relativitáselmélet)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A relativitáselméletben egy intervallum a téridő két eseménye közötti távolság analógja , ami a két pont közötti euklideszi távolság általánosítása. Az intervallum Lorentz-invariáns , azaz nem változik, amikor az egyik inerciális vonatkoztatási rendszerből a másikba lépünk , és még inkább invariáns ( skalár ) a speciális és általános relativitáselméletben.

Az intervallum ezen tulajdonsága alapfogalommá teszi, amely alapján a relativitás elvének megfelelően fizikai törvények kovariáns megfogalmazása végezhető el. Különösen a Lorentz-transzformációk (koordináták transzformációi, ideértve az időt is, amelyek a fizika összes alapvető egyenletének rekordját változatlanul hagyják a vonatkoztatási rendszer megváltoztatásakor) formálisan megtalálhatók olyan transzformációk csoportjaként , amelyek az intervallumot invariánsan tartják.

Az intervallum invarianciája szolgált alapul a Minkowski-tér bevezetéséhez, amelyben az inerciális vonatkoztatási keretek változása ennek a térnek a "forgásainak" felel meg, amely a téridő fogalmának első kifejezett megfogalmazása volt .

Definíció

Az intervallumnégyzet szimmetrikus bilineáris forma egy konfigurációs 4-dimenziós tér-idő sokaságon . Megfelelően megválasztott koordinátákkal (galilei - lokálisan inerciális vonatkoztatási rendszer derékszögű térkoordinátákkal és idővel ) a tér-időben végtelenül kis elmozduláshoz a következő alakkal rendelkezik: $x,y,z$ $t$

{\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2))

(lokálisan egy pszeudo-euklideszi téridő , egy Menkowski-tér a vezető sorrendben, más szóval egy sokaság határozatlan pszeudo-Riemann-féle aláírási metrikával (+−−−)).

Lapos téridő – azaz görbület nélküli téridő – esetében, amely a modern fizikában a gravitáció hiányának (vagy elhanyagolható kicsiségének) esetére vonatkozik – ugyanez a kifejezés érvényes a koordináták véges különbségeire is:

s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^ {2}

(egy ilyen tér már pontosan és globálisan Minkowski-tér, ha természetesen topológiailag ekvivalens természetes topológiájában). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Az intervallumot általában latin betű jelzi . $s$

Az általános relativitáselmélet az intervallum általánosított fogalmát használja, amely két pont közötti távolság természetes általánosítását adja. Bevezetünk egy metrikus tenzort , amelyből csak szimmetria és nem- degeneráció szükséges . A két végtelenül közeli pont közötti intervallum négyzetének kifejezése a következő alakot veszi fel ${\displaystyle g_{ik))$

ds^{2}=g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j},\quad i,j=0\dots 3,\quad x^{0}=ct,\ x^{1}=x,\ x^{2}=y,\ x^{3}=z,

ahol a koordináta-differenciálok vannak, és az összegzés az ismétlődő indexekre vonatkozik , azaz ez a kifejezés azt jelenti, $dx^{i}$

\sum _{i,j=0}^{3}g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.

Megjegyezzük, hogy az így definiált metrika nem lesz pozitív-meghatározott másodfokú forma, ahogy az a megfelelő Riemann-sokaságok esetében általában megköveteli. Ellenkezőleg, érthető, hogy mindig vagy majdnem mindig lokálisan a téridő koordinátákat (referenciakeretet) meg lehet választani úgy, hogy ezekben a koordinátákban a téridő egy kis régiójára vonatkozó intervallumot ugyanúgy írjuk, mint Lorentzi koordinátákra (referenciakeretekre) van írva egy lapos Minkowski térben: ${\megjelenítési stílus t,x,y,z}$

ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

úgy, hogy egy téridő ponton keresztül végtelenül sok olyan vonal van, amelynek nulla "hossza" (amikor a hosszt a téridőben a "fizikai metrikáján" keresztül határozzuk meg - vagyis a ) integráljaként - fénykúpot képezve ; végtelenül sok olyan vonal van, amelynek hossza valós – mindegyik a fénykúp belső tartományában van; és végtelenül sok van azokból, amelyeknek a hossza tisztán képzeletbeli - egy adott pont közelében mind a fénykúp külső tartományában vannak, és egy csúcs van rajta, ha simák. ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}\,dt^{2))))$

Az intervallum négyzetjel megegyezés kérdése. Választható (és történelmileg az is volt) az ellenkezője. Manapság talán gyakrabban használják a jelen cikkben említett jelválasztást. Néha azonban az ellenkezője kényelmesebb, ha Minkowski és az időkoordináta gyakran kényelmes, tisztán képzeletbeli értelmezését használjuk.
A koordináták számozása is megegyezés tárgya, de a modern irodalomban leggyakrabban itt vannak számozva - 0-tól 3-ig, és a 0 indexet az időkoordinátához rendelik. $x^i$
A magasabb dimenziójú téridőt használó elméleti konstrukciókban az intervallum definícióját természetesen általánosítjuk úgy, hogy az összeghez bizonyos számú térbeli koordinátát adunk. Ebben az esetben legtöbbször (bár nem mindig) azt feltételezik, hogy az időkoordináta egyedi marad, vagyis általában csak egy tag kerül be az összes többivel ellentétes előjellel.
A rajta megadott nem degenerált intervallumú (vagy más szóval nem degenerált metrika) sokaságot pszeudo-Riemann- nak , pontosabban pszeudo-Riemann-nak nevezzük, hogy hangsúlyozzuk a különbséget a Riemann-féle sokaságtól , amelyben a metrika - az intervallumtól eltérően - pozitív határozott, mint a szokásos euklideszi távolság.
Az intervallumdefiníciók némileg eltérnek a speciális és az általános relativitáselméletben. Ez annak köszönhető, hogy a Minkowski-téridő két tetszőleges pontja közötti intervallumot nehézségek nélkül megadhatjuk az őket összekötő egyenes (geodéziai) vonal hosszaként, amint azt fent tettük. A görbe téridő általános formájára azonban ez már nem tehető ilyen egyszerűen, hiszen a pontokat több különböző geodetikus (vagy akár végtelen számú) kötheti össze. Ezért az intervallumot az általános relativitáselméletben általában egy adott pont végtelenül kicsi szomszédságában határozzák meg, ahol a belőle kiinduló különféle geodetikusok még nem metszik egymást, és a geodéziai vonalak mentén az egyik ponttól a másikig terjedő távolságot világnak nevezzük. függvény .

Intervallum invariancia a speciális relativitáselméletben

Használt posztulátumok

Közvetlenül a relativitás elvéből , a tér homogenitásából és izotrópiájából , valamint az idő homogenitásából következik, hogy az egyik IFR-ről (inerciális referenciakeretről) egy másik IFR-re való áttéréskor az intervallum változatlan marad. Ez a tulajdonsága teszi lehetővé a Lorentz-transzformációk formális levezetését , és igazolja a Minkowski-tér és a nem-riemann-i metrika bevezetésének indoklását.

A fénysebesség invarianciája azért számít itt, mert ismert, hogy a fénysebesség legalább egy vonatkoztatási rendszerben mindig azonos, és ebből és a relativitás elvéből az következik, hogy minden IFR-ben azonosnak kell lennie. . A fénysebesség helyett azonban a testek mozgásának vagy a kölcsönhatások terjedésének maximális sebességét vehetnénk fel, aminek szintén a relativitás elve alapján minden inercia vonatkoztatási rendszerben azonosnak kell lennie. Ha a kölcsönhatások maximális terjedési sebessége véges, akkor annak a relativitás elve miatt egybe kell esnie a fénysebességgel, amit itt szokás szerint jelölünk . $c$

Az alábbiakban közölt bizonyításhoz elengedhetetlen, hogy minden térbeli koordináta- és időváltozást kicsinek (végtelenül kicsinek) tekintsünk, vagyis minden két, térben és időben végtelenül közeli esemény közötti intervallumra fog megfogalmazódni.

Bizonyítás

Valószínűleg, tekintettel a jegyzetekben feljegyzett buktatókra, a lenti Landau tankönyvből származó bizonyításra, a legegyszerűbb először explicit módon megkapni a Lorentz-transzformációkat , amelyekből az intervallum invariancia egyszerűen következik.

Először is mutassuk meg, hogy ha két esemény közötti intervallum egy IFR-ben nullával egyenlő, akkor bármely IRF-ben egyenlő nullával. Valójában engedje meg, hogy az IFR K 1. eseménye egy időpontban forduljon elő, a 2. esemény pedig egy időpontban . Feltétel szerint a köztük lévő intervallum 0, azaz ${\displaystyle x_{1},y_{1},z_{1))$ $t_{1}$ ${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2))$ $t_{2}$

c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2} )^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}=0.

Ez azt jelenti, hogy ha fénysebességgel mozgó jelet bocsátanak ki az 1. pontból a 2. pontba, akkor az idő után a 2. pontban lesz . De a fénysebesség invarianciája miatt a K' referenciakeretben figyelembe vett 1-es és 2-es eseményekre hasonlóan írhatunk $t_{2}-t_{1}$

c^{2}(t_{1}^{'}-t_{2}^{'})^{2}-(x_{1}^{'}-x_{2}^{'} )^{2}-(y_{1}^{'}-y_{2}^{'})^{2}-(z_{1}^{'}-z_{2}^{'})^ {2}=0.

Ez azt bizonyítja, hogy az intervallum nullával való egyenlősége nem függ az ISO-tól.

A további célok érdekében ne feledjük, hogy a végtelenül közeli események közötti intervallumot vesszük figyelembe , ezért ennek végtelenül kicsi értéknek kell lennie. A tér homogenitása és izotrópiája, valamint az idő homogenitása miatt az IFR megváltoztatásakor az új intervallum csak a régi intervallum és az új IFR sebességének függvénye lehet a régi IFR-ben, nem függhet az IFR koordinátáitól. pont vagy idő. Az IFR megváltoztatásakor nem adható hozzá a régi IFR-ben lévő intervallumtól nem függő tag, mivel ha az egyik IFR-ben az intervallum 0, akkor a másik IFR-ben szintén 0. Így mindkét intervallum végtelenül kicsi legyen. Mivel az intervallumok végtelenül kicsik, arányosnak kell lenniük [1] , mint ugyanolyan rendű végtelenül kicsiknek, mivel az egyik akkor és csak akkor tűnik el, ha a második, amint azt már az elején megtudtuk. Ez azt jelenti, hogy az ISO megváltoztatásakor az intervallum a szabály szerint átalakul

ds_{2}^{2}=k({\vec {V)))\,ds_{1}^{2}.

A tér izotrópiája miatt k nem függhet a sebesség irányától, csak a modulusától.

Ez azt jelenti [2] , hogy figyelembe véve az intervallum változását az 1. rendszerből a 2. rendszerbe való átmenet során, majd vissza, mivel V azonos a tér izotrópiájából és a relativitás elvéből származó direkt és inverz transzformációknál ( a második rendszer megkülönböztethetetlen az elsőtől , hogyan néz ki az első rendszer a másodiktól), van

ds_{2}^{2}=K(V)\,ds_{1}^{2},

ds_{1}^{2}=K(V)\,ds_{2}^{2},

és ezért (mert ) ${\displaystyle ds_{1}=ds_{1))$

K^{2}(V)=1

bármely V .

Marad a K = −1 eset elvetése. Ezt három ISO figyelembevételével és a köztük lévő intervallum megváltoztatásával lehet megtenni. A szekvenciális átmenet az első CO-tól a harmadikig, a másodikon keresztül, megvan

ds_{3}^{2}=K^{2}\,ds_{1}^{2},

és az elsőről a harmadikra való közvetlen átmenethez:

ds_{3}^{2}=K\,ds_{1}^{2}.

Ez azt mutatja, hogy , és ezért csak a változat marad $K^{2}=K$

k(V)=1

bármely V esetén, vagyis az intervallum nem változik az ISO megváltoztatásakor.

Összegzésképpen megállapítható, hogy az infinitezimális intervallumok invarianciája a végesek invarianciáját jelenti, mivel ez utóbbiakat végtelen kicsinyek egyszerű integrálásával kapjuk.

Az intervallum négyzetjelének jelentése

Ha , akkor az intervallumot időszerűnek nevezzük . Az események közötti időszerű intervallum azt jelenti, hogy létezik egy olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben mindkét esemény ugyanazon a helyen történt. Ennél is fontosabb, hogy az események közötti időszerű intervallum azt jelenti, hogy ok- okozati összefüggésben lehetnek egymással . Könnyű ellenőrizni, hogy az ok-okozati összefüggésben lévő események esetében, mivel bármely kölcsönhatás nem nagyobb c sebességgel terjed , és megfelel a fénysebességgel terjedő jelhez kapcsolódó eseményeknek. Ennek a jelnek nem kell pontosan könnyűnek lennie, lehet gravitációs hullám , általában bármilyen tömeg nélküli részecske , vagy akár még fel nem fedezett kölcsönhatás is. Csak lényeges, hogy legyen a kölcsönhatás maximális terjedési sebessége, amely minden vonatkoztatási rendszerre azonos, és a Maxwell-egyenletekből következően egyenlő a fénysebességgel. $ds^{2}\geqslant 0$ $ds^{2}\geqslant 0$ $ds=0$
Ha , akkor az intervallumot térszerűnek nevezzük , ami azt jelenti, hogy választhatunk olyan inerciális vonatkoztatási rendszert, amelyben mindkét esemény egy időben történt. Azok az események, amelyek közötti intervallum, mint fentebb jeleztük, nem köthető ok-okozati összefüggéshez, hiszen ehhez még egy egyenes vonalban terjedő jelnek is gyorsabban kellene haladnia, mint a fénysebesség. $ds^{2}\leqslant 0$
Ha , akkor az intervallumot fényszerűnek (néha izotrópnak vagy nullának) nevezzük. A Minkowski térben lévő irányokat, amelyek mentén az intervallum 0, izotrópnak mondjuk . A sokaságot izotrópnak is nevezik, ha a forma azonos 0- val. A fény mindig izotróp irányok mentén terjed. $ds^{2}=0$ $ds^2$

Megjegyzés . Mivel maga az intervallum invariáns, nyilvánvaló, hogy négyzetének előjele is invariánsnak bizonyul. Ezért az intervallumok ezen az alapon történő, itt megadott osztályozása nem függ a referenciarendszertől.

Lásd még

Jegyzetek

↑ A Landau és Lifshitz tankönyvében szereplő bizonyítási rész látszólagos egyszerűsége ellenére meglehetősen nem triviális. Talán Landau a viccek iránti szeretetével itt úgy döntött, hogy megvizsgálja, mennyire értik az olvasók a látszólag egyszerű, de észrevehetetlen buktatókat tartalmazó előadást. Bár természetesen bizonyos értelemben a vizsgált állításnak igaznak kell lennie, legalábbis a bizonyítás helyes eredménye alapján. Kimarad azonban annak részletes tárgyalása, hogy az együttható miért csak egy szám, amely nem függ például a sebességvektor és az események pontjait összekötő vektor közötti szögtől, amely közötti intervallumot figyelembe véve. ezt a bizonyítékot: azt javasolják, hogy állítsák vissza az olvasóhoz.
↑ Innentől kezdve a bizonyítás némileg leegyszerűsödik Landau bizonyításához képest, de ha bizonyítottnak vesszük azt, ami eddig már bizonyított, akkor Landau fejtegetése szerint a következő elegendő.

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .