Isogonal mate

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. június 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 13 szerkesztést igényelnek .

Az izogonális konjugáció egy geometriai transzformáció, amelyet úgy kapunk, hogy tükrözzük a kezdőpontokat egy adott háromszög csúcsaival összekötő egyeneseket a háromszög szögfelezőihez viszonyítva .

Definíció

A és pontokat izogonálisan konjugáltnak nevezzük (az elavult nevek izogonálisak, inverzek [1] ) egy háromszögben , ha , , . Ennek a definíciónak a helyessége Ceva tételén keresztül szinuszos formában igazolható, ennek a definíciónak van egy tisztán geometriai bizonyítéka is. Az izogonális konjugáció olyan transzformáció, amely egy pontot társít az izogonális konjugátumhoz. A teljes síkon, kivéve a háromszög oldalait tartalmazó egyeneseket, az izogonális konjugáció egy az egyhez leképezés . $P$ $P^*$ $\háromszög ABC$ $\angle ABP = \angle CBP^*$ $\angle BAP = \angle CAP^*$ $\angle BCP = \angle ACP^*$

Tulajdonságok

Az izogonális ragozás csak a beírt középpontját hagyja a helyén, és a körkörös köröket .
A körülírt kör egy pontjához izogonálisan konjugált pont a végtelenben van . Az e pont által megadott irány merőleges az eredeti pont Simson-vonalára .
Ha a pontok , , szimmetrikusak egy pontra a háromszög oldalaihoz képest, akkor a háromszög körülírt körének középpontja izogonálisan konjugált a ponthoz . $P_a$ $P_b$ $P_c$ $P$ $P_aP_bP_c$ $P$
Ha egy ellipszist egy háromszögbe írunk , akkor a fókuszpontjai izogonálisan konjugáltak .

Az oldalak két izogonálisan konjugált pontjának vetületei ugyanazon a körön fekszenek (a fordítottja is igaz) [2] . Ennek a körnek a középpontja a konjugált pontok közötti szakasz felezőpontja. Egy speciális eset egy kilenc pontból álló kör .
Ez utóbbi azt jelenti, hogy két izogonálisan konjugált pont szubdermális körei egybeesnek. Különösen az ortocentrum részköre és a körülírt kör középpontja az Euler-kör . Poder vagy pedálkör a bőr alatti háromszög körülírt köre .
Egy háromszög két pontja akkor és csak akkor konjugált izogonálisan, ha a háromszög három oldalához mért távolságuk szorzata egyenlő [2] .

Izogonálisan konjugált vonalpárok

Az izogonális ragozású egyenes képe egy háromszögre körülírt kúp . Különösen a végtelenben lévő egyenes és a körülírt kör , az Euler-vonal és az Enzhabek-hiperbola , a Brocard-tengely és a Kiepert-hiperbola , a beírt és körülírt körök középvonala és a Feuerbach-hiperbola izogonálisan konjugáltak .
Ha egy kúp izogonálisan konjugált egy egyeneshez , akkor az összes pont háromvonalas polárisa átmegy a háromvonalas pólushoz izogonálisan konjugált ponton . $\alpha$ $l$ $\alpha$ $l$
Néhány jól ismert kocka , mint például a Thompson - kocka, a Darboux -kocka, a Neuberg -kocka, izogonálisan önadjungált abban az értelemben, hogy ha a háromszögben minden pontjuk izogonálisan konjugált, akkor ismét kockákat kapunk.

Izogonálisan konjugált pontpárok

A körülírt kör középpontja és az ortocentrum (lásd az ábrát).
A mediánok és a Lemoine - pont metszéspontja (a szimediánok metszéspontja).
A Gergonne-pont és a beírt és körülírt kör negatív homotétiájának középpontja.
Nagel-pont és a beírt és körülírt kör pozitív homotétiájának középpontja ( Verrier-pont ).
Két Brocard pont
Apollonius -pont és Torricelli-pont .
A beírt kör középpontja ( incenter ) izogonálisan konjugált önmagához.

Koordináta jelölés

Baricentrikus koordinátákban az izogonális konjugációt a következőképpen írjuk:

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac { c^{2}}{z}}\jobbra)

ahol , , a háromszög oldalainak hossza. Trilineáris koordinátákban a jelölése a következő: $a$ $b$ $c$

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\jobbra )

ezért kényelmesek, ha izogonális társakkal dolgozunk. Más koordinátákban az izogonális konjugáció körülményesebb.

Változatok és általánosítások

Hasonlóképpen definiálhatunk izogonális konjugációt egy sokszög vonatkozásában. A sokszögbe írt ellipszisek fókuszai is izogonálisan konjugáltak lesznek. Az izogonálisan konjugált pont azonban nem lesz definiálva minden pontra: például egy négyszögben azoknak a pontoknak a lokusza, amelyekre az izogonális konjugáció definiálva van, egy harmadik rendű görbe; egy ötszögnél csak egy pár izogonálisan konjugált pont (az egyetlen beleírt ellipszis fókuszai) lesz, és a sok csúcsú sokszögben általában nem lesznek izogonálisan konjugált pontok.

Tetraéderben is definiálhatunk izogonális konjugációt , trilineáris koordinátákban a lapos izogonális konjugációhoz hasonlóan lesz felírva [3] .

Az izogonális konjugációhoz szorosan kapcsolódik az antigonális konjugáció , amelyet a Poncelet-tétel című cikk említ .

Következmények

Pascal tétele levezethető az izogonális konjugációból .

Jegyzetek

↑ D. Efremov. Új háromszög geometria. Odessza, 1902
↑ 1 2 Zetel S.I. Új háromszög geometria. Útmutató tanároknak. 2. kiadás .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 97, 80. o.
↑ Izogonális konjugáció egy tetraéderben és lapjaiban (hozzáférhetetlen kapcsolat)