Három test probléma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A három test problémája a csillagászatban az égi mechanika egyik feladata , amely három test (anyagi pont) egymáshoz viszonyított mozgásának meghatározásából áll a Newton-féle gravitációs törvény szerint (például a Nap , a Föld és a Hold ). Ellentétben a kéttestes problémával , általános esetben a feladatnak nincs véges analitikus kifejezések formájában megoldása. A speciális kezdeti sebességekre és tárgykoordinátákra csak egyedi egzakt megoldások ismertek.

Matematikai megfogalmazás

Az égi mechanika általános háromtest-problémáját egy másodrendű közönséges differenciálegyenlet - rendszer írja le

$\left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{ 2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol { q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_ {1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\ gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}} _{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+ \gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\ félkövér szimbólum {q}}_{3}|^{3}}}\end{tömb}}\quad \right\}$

ahol a gravitációs állandó , a testek tömegei, a helyzetüket meghatározó sugárvektorok, a pont pedig az idő deriváltját jelenti. $\gamma$ $m_{i}$ ${\boldsymbol {q}}_{i}$

Magándöntések

Jelenleg több mint ezer konkrét megoldás ismert:

Az első három megoldást Euler találta meg 1767-ben. Akkor léteznek, ha mindhárom test ugyanazon az egyenesen van . Ebben az esetben 3 lehetséges elrendezési szekvencia lehetséges (a harmadik test a másik kettő között van, mindkettőtől balra vagy jobbra). Az ilyen mozgást kollineárisnak nevezzük .
Két további megoldást talált 1772-ben Lagrange . Ezekben a testek alkotta háromszög egyenlő oldalú marad és forog a térben.
1892-1899-ben Henri Poincaré bebizonyította, hogy a három test problémájára végtelenül sok sajátos megoldás létezik.
1911-ben W. D. Macmillan egy új sajátos megoldást fedezett fel, de egyértelmű matematikai indoklás nélkül. A szovjet matematikus, K. A. Szitnyikov csak 1961-ben tudott szigorú matematikai bizonyítékot találni erre az esetre (lásd Szitnyikov problémáját ).
Az 1970-es évek közepén R. Broucke ( angolul Roger A. Broucke ), M. Henot ( francia Michel Hénon ) és J. Hadjidemetriou ( angol John D. Hadjidemetriou ) egymástól függetlenül fedezte fel a Brooke-Hénot pályacsaládot - Hadjidemetriou [1] .
1993-ban Moore [2] [3] egy másik megoldást talált a stabil „nyolc” pálya formájában .

2013-ban Milovan Shuvakov és Velko Dmitrashinovich szerb tudósok a belgrádi Fizikai Intézetből 11 új periodikus részmegoldást találtak három azonos tömegű test problémájára [1] [4] .
2017-re kínai matematikusok egy csoportja elkészítette saját algoritmusát a periodikus pályák megtalálására, amelyet Clean Numerical Simulation -nak neveztek el . Segítségével a tudósok új pályákat számoltak ki, ennek eredményeként a háromtest-probléma periodikus trajektóriáinak ismert családjainak száma 695 lett. Folytatva a munkát, ez a tudóscsoport további 1223 konkrét megoldást számolt ki a problémára.
2018-ban Liao Shijun matematikus és kollégái a Sanghaji Közlekedési Egyetemről 234 új, sajátos megoldást találtak a három testből álló probléma megoldására, szuperszámítógép segítségével [5] .

Általános eset

Az általános esetre vonatkozóan Weierstrass a következő problémát javasolta ( 1885 , verseny II. Oscar svéd király díjáért ):

Legyen adott egy tetszőleges számú anyagi pont rendszere, amelyek kölcsönhatásba lépnek Newton törvénye szerint. Feltételezve, hogy nem lesz két pont ütközése, az egyes pontok koordinátáit sorozatok formájában kell ábrázolni az idő néhány folytonos függvényében, egyenletesen konvergálva ennek a változónak az összes valós értékére. .

- Pogrebyssky I. B. Kommentár a Poincaré háromtest-problémához // Poincaré A . Válogatott művek. - T. 2. - M .: Nauka, 1979. - S. 967-976.

Hozzávetőleges megoldás

Nyilvánvalóan maga Weierstrass, egy tetszőleges függvény polinomokkal való közelítéséről szóló híres tételére támaszkodva kívánt kifejezést kapni a testek koordinátáira a következő formában:

\lim \limits _{n\jobbra \infty }P_{n}(t)

hol van néhány polinom. $P_{n}$

A megoldás folytonosságából azonnal következik az ilyen polinomok megléte, de eddig nem sikerült konstruktív módszert találni a polinomok megtalálására.

A Weierstrass-problémában leírt helyzet lehetőségének megvitatása számos fontos következtetéshez vezetett:

Ha a háromtest-probléma megoldása egy holomorf függvény az intervallumban , és az megszűnik ilyennek lenni , akkor a testek közötti távolságok mindegyike nullára irányul (testek hármas ütközése), vagy az egyik nullára hajlik, és a másik kettő véges határokra hajlamos (egyszerű ütközőtestek). ( Painlevé , 1897); $t$ $[0,t_{0})$ $t=t_{0}$ $t\jobbra t_{0}-0$
A hármas ütközés a háromtest problémában csak akkor lehetséges, ha a rendszer szögimpulzusa megszűnik, és ezért csak nagyon speciális kezdeti adatokkal valósulhat meg. ( F. A. Sludsky , 1874);
Ha a rendszer impulzusimpulzusa nem egyenlő nullával, akkor létezik egy úgynevezett regularizáló paraméter , amelyen keresztül holomorf módon lehet kifejezni a koordinátákat és az időt a valós tengely közelében . ( Sundman , 1912; egy rövid bizonyítékot 1967-ben adott Burdet [6] ). $s$ $s$

Ez arra késztette Poincarét és Zundmant, hogy ne függvényei , hanem valamilyen paraméter sorozata formájában keressenek megoldást . Ugyanis három test és az idő koordinátái holomorf függvények a sík teljes valós tengelye mentén , vagyis van olyan terület, ahol a koordináták holomorfak. Riemann tétele szerint ez a terület leképezhető egy egységsugarú körre , így három test és az idő koordinátái a holomorf paraméter függvényeiként ábrázolhatók egy egységsugarú körben. Az ilyen függvények a teljes körben konvergáló pozitív hatványú sorozatokként ábrázolhatók . Ezeket a sorozatokat Zundman találta meg 1912 -ben , pontosabban egy algoritmust találtak együtthatóik megtalálására. Sajnos, amint azt D. Beloritsky [7] kimutatta , legalábbis Lagrange esetében, a számítási csillagászat szükségleteihez legalább a kifejezéseket konvergens Sundman-sorokban kell venni. $t$ $s$ $s$ $|v|<1$ $v$ $v$ $10^{8\cpont 10^{6}}$

Pontos megoldás

A háromtestű rendszer a legegyszerűbb dinamikus káosszal rendelkező rendszer [1] .

Bruns és Poincaré bebizonyította, hogy a három test mozgására vonatkozó differenciálegyenletrendszer nem redukálható integrálhatóvá [1] . Felfedezésük azt jelenti, hogy a dinamikus rendszerek nem izomorfok .

Az egyszerű integrálható rendszerek nem kölcsönható alrendszerekre bonthatók, de általában lehetetlen kizárni az interakciókat.

Lásd még

Két test probléma
Gravitációs N-test probléma
Michael Minovich
Faddeev -egyenletek (három részecske probléma a kvantummechanikában.)

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Trunin, D. Több mint hatszáz periodikus pályát fedeztek fel a három test problémájában : [ arch. 2018. november 7. ] // N+1. - 2017. - október 12.
↑ Stewart, 2016 , p. 217.
↑ A szerb fizikusok jelentősen bővítették a „háromtest-probléma” ismert megoldásainak számát . Letöltve: 2019. január 10. Az eredetiből archiválva : 2019. január 11. (határozatlan)
↑ A fizikusok új megoldásokat találtak a newtoni háromtest problémára . Lenta.ru (2013. március 11.). Letöltve: 2013. március 17. Az eredetiből archiválva : 2013. március 21.. (határozatlan)
↑ Li, Xiaoming és Liao, Shijun. Ütközésmentes periodikus pályák a szabadesés három test problémájában . — 2018-05-21.
↑ Marsall K. Három test problémája. M.-Izhevsk, 2004
↑ Belorizky, D. Sur la Solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // CR 193, 766-768, 1931.

Irodalom

Alekseev V. M. Előadások az égi mechanikáról. - Izhevsk: RHD, 2001. - 156 p.
Siegel KL Előadások az égi mechanikáról. — M. : IL, 1959. — 300 p.
Marsall K. Három test problémája. - Izhevsk: RHD, 2004. - 640 p.
Ian Stewart . A legnagyobb matematikai feladatok. — M. : Alpina non-fiction, 2016. — 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Linkek

Checiner, Alain (2007). "Három test probléma". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C . DOI : 10.4249/scholarpedia.2111 .
A tudósok közel állnak ahhoz, hogy végre megoldják a három test problémáját . Popular Mechanics (2021. május 13.). (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph124613

Égi mechanika

Törvények és feladatok	Newton törvényei A gravitáció törvénye Kepler törvényei Két test probléma Három test probléma Gravitációs N-test probléma Bertrand problémája Kepler-egyenlet
Éggömb	Égi koordináta-rendszer galaktikus vízszintes egyenlítői ekliptika Nemzetközi égi koordináta-rendszer Gömbös koordinátarendszer világtengely Égi egyenlítő jobb felemelkedés deklináció Ekliptika Napéjegyenlőség Napforduló alapsík
Pályaparaméterek _	A pálya Kepleri elemei különcség fél-nagy tengely anomáliát jelent növekvő csomóponti hosszúság periapszis érv Apocenter és periapsis Keringési sebesség Keringési csomópont Korszak
Az égitestek mozgása	A Nap és a bolygók mozgása az égi szférában Ephemeris Bolygó konfigurációk szembesítés összetett kvadratúra megnyúlás bolygók felvonulása Fogyatkozás Napfogyatkozás holdfogyatkozás saros Metonikus ciklus Bevonat Végigjátszás csúcspontja sziderikus időszak zsinati időszak Forgatási időszak orbitális rezonancia Equinox Prelude Közeledés libráció A gravitáció hatóköre Kozai hatás Yarkovsky-effektus Dzsanibekov hatás

Asztrodinamika

Űrrepülés	térsebesség első (kör alakú) második (parabola) harmadik negyedik Ciolkovszkij képlete Gravitációs manőver Hohmann pálya Az elemek oszkulációjának módszere Árapálygyorsulás Orbitális dőlésváltozás Bolygóközi közlekedési hálózat Dokkolás Lagrange pontok Úttörő hatás
SC kering	geostacionárius pálya Heliocentrikus pálya geoszinkron pálya geocentrikus pálya geotranszfer pálya Alacsony földpálya sarki pálya "Tundra" pálya Napszinkron pálya Keringő "villám" Oszkuláló pálya