Kettős kategória

A kettős kategória ( duális kategória ) a kategóriaelméleti elv szerint adott kettősségből felépülő kategória , vagyis egy kategória esetében a kettős kategória egy olyan kategória , amely ugyanazokkal az objektumokkal rendelkezik, mint a morfizmushalmazoknál ("nyíl megfordítása"). ). A kategórián belüli és egy kategóriába tartozó morfizmusok összetételét a és a kategóriába tartozó összetételként határozzuk meg . A kategóriába tartozó fogalmakat és állításokat kettős fogalmak és állítások váltják fel a -ban . A dualitás kétszeri használata magába foglalja a kategóriát. ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\mathcal C}$ ${\text{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(A,B)={\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)$ $f$ $g$ ${\mathcal C}^{{op))$ $g$ $f$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}^{{op))$

Példák

A Boole-algebrák kategóriája ekvivalens a kőterek és folytonos függvények kettős kategóriájával .
Az affin sémák kategóriája egyenértékű a kommutatív gyűrűk kettős kategóriájával .
A Pontryagin-kettősség a kompakt Hausdorff-Abeli- topológiai csoportok kategóriájának és a (diszkrét) Abeli-csoportok kettős kategóriájának egyenértékűségére korlátozható .
A Gelfand–Neumark-tétel szerint a lokálisan mérhető terek (és a mérhető függvények ) kategóriája egyenértékű a kommutatív von Neumann-algebrák kettős kategóriájával .

Tulajdonságok

$({\mathcal C}\times {\mathcal D})^{{op}}\cong {\mathcal C}^{{op}}\times {\mathcal D}^{{op}}$ (lásd a munka kategóriáját )
$(Funct({\mathcal C},{\mathcal D}))^{{op}}\cong Funct({\mathcal C}^{{op}},{\mathcal D}^{{op}})$ [1] [2] (lásd a funktorok kategóriáját )
$(F\downarrow G)^{{op}}\cong (G^{{op}}\downarrow F^{{op}})$ (lásd vessző kategória )

Jegyzetek

↑ H. Herrlich, G.E. Strecker, Kategóriaelmélet , 3. kiadás, Heldermann Verlag, p. 99.
↑ O. Wyler, Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi , World Scientific, 1991, p. nyolc.

Irodalom

McLane S. 2. fejezet. Konstrukciók kategóriákban // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .