Carathéodory hipotézise

A Carathéodory-sejtés Constantine Carathéodorynak tulajdonított sejtés , amelyet Hans Ludwig Hamburger mondott ki a Berlini Matematikai Társaság 1924-es ülésén [1] . Carathéodory publikációkat publikált erről a témáról [2] , de írásaiban soha nem mutatta be a hipotézist. John Edensor Littlewood könyvében [3] Hamburger sejtését és hozzájárulását [4] [5] [6 ] említi , mint egy könnyen kimondható, de nehezen bizonyítható matematikai állítás példáját. Dirk Jan Stroyk cikkében [7] leírja a sejtés formális analógiáját a síkgörbék négy csúcsos tételével . A sejtésre vonatkozó modern hivatkozások Yau Shintun [8] problémáinak listája , Marcel Berger [9] [10] könyvei, valamint Nikolaev [11] , Sztrojka [12] , Toponogov [13] és Alekszejevszkij könyvei, Vinogradov, Lychagin [14] .

Megfogalmazás

A háromdimenziós euklideszi térben minden konvex, zárt és kellően sima felület legalább két lekerekítési pontot tartalmaz .

Jegyzetek

Például egy forgásellipszoidnak pontosan két kerekítési pontja van. Ebben az esetben a gömb minden pontja kerekítési pont.

Privát találatok

Stefan Cohn-Vossen [15] jelentkezett az 1928-as bolognai Nemzetközi Matematikus Kongresszusra, és a „Differenciálgeometria” [16] című könyv harmadik kötetének 1929-es kiadásában Wilhelm Blaschke ezt írta:

A könyv publikálásra való előkészítése közben Cohn-Vossen be tudta bizonyítani, hogy a zárt valós-analitikus felületeken nincsenek 2-nél nagyobb indexű köldökpontok (meghívott előadás a bolognai ICM-en 1928). Ez bizonyítja Carathéodory ilyen felületekre vonatkozó sejtését, miszerint a felületeknek legalább két köldökkel kell rendelkezniük.

Itt a Blaschke-index a köldökpont szokásos indexének kétszerese, és a globális sejtés következik a Poincaré-vektormező-tételből . Cohn-Vossen a Nemzetközi Kongresszus előtt nem publikált, és Blaschke könyvének további kiadásaiban a fenti megjegyzéseket eltávolították. Ebből logikus az a következtetés, hogy a munka nem volt meggyőző.

Az analitikus felületek esetében a sejtésre 1940-ben Hans Ludwig Hamburger adott igenlő választ egy három részből álló hosszú írásában [4] [5] [6] . Hamburger megközelítése az izolált köldökpontok indexeinek becslésén is alapult, amelyből, amint azt korábbi tanulmányaiban [17] [18] kimutatta, Caratedori sejtése következik. 1943-ban Gerrit Bol kínált egy rövidebb bizonyítást [19] (lásd még Blaschke [20] ), de 1959-ben Tilla Klotz [21] hiányosságot talált és kijavított Bol bizonyításában [4] [5] [6] . Bizonyítását pedig Hanspeter Scherbel disszertációjában [22] hiányosnak nyilvánította (Sherbel legalább 2009 júniusáig nem publikált Carathéodory sejtésével kapcsolatos eredményeket). Egyéb publikációk közül meg kell említeni Titus [23] , Sotomayor és Mello [24] , Gutierrez [25] munkáit .

Az összes fent említett bizonyítás azon alapul, hogy Hamburger Carathéodory sejtését a következő sejtésre redukálta: egyetlen izolált köldökpont indexe sem haladja meg az egyet [17] . Nagyjából a fő nehézséget a kerekítési pontok által generált szingularitás feloldása jelenti. A fent említett szerzők mindegyike a szingularitást indukcióval oldja fel a kerekítési pont "degeneráltságán", de egyik szerző sem írta le egyértelműen az indukció folyamatát.

2002-ben Vladimir V. Ivanov áttekintette Hamburger analitikus felületekkel kapcsolatos munkáját, és a következőket írta [26] :

Először is, az analitikai felületeket szem előtt tartva, teljes felelősséggel kijelentjük, hogy Carathéodorynak igaza volt. Másodszor, tudjuk, hogyan lehet ezt szigorúan bizonyítani. Harmadszor, egy olyan bizonyítékot kívánunk bemutatni, amely véleményünk szerint minden olvasót meggyőz, ha csak valóban készen áll egy hosszú és egyáltalán nem könnyű utat legyőzni velünk.

Eleinte a Gerrit Bol és Tilla Klotz által javasolt utat követte, később azonban a szingularitás saját megoldását javasolta, amelyben a kritikus érték a komplex elemzésé (pontosabban analitikus implicit függvényeket használó technika , a Weierstrass előkészítő tétel ). , Puiseux sorozat és körkörös gyökérrendszerek ).

2008-ban Gilfoyle és Klingenberg bejelentette a C 3,\alpha simaságú felületekre vonatkozó globális sejtés bizonyítékát . Módszerük a Klein-kvartikus , az átlagos görbületi áramlás semleges Kähler-geometriáját , a Riemann-Roch-index tételt és a Fredholm-operátorok szabályos értékeire vonatkozó Sard-Smale-tételt használja [27] . Cikkük azonban soha nem jelent meg [28] .

2012-ben Gomi és Howard a Möbius-transzformáció segítségével kimutatta, hogy a C2 simaságú felületek globális sejtése újrafogalmazható egyes aszimptotikus gradiens gráfjainak köldökpontjainak számával [29] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Hamburger, 1924 .
  2. ↑ Wrocławi Egyetem, 1935 .
  3. ↑ Littlewood, 2011 .
  4. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1940 , p. 63-86.
  5. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , p. 175-228.
  6. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , p. 229-332.
  7. ↑ Struik, 1931 , p. 49-62.
  8. ↑ Yau, 1982 .
  9. ↑ Berger, 2003 .
  10. ↑ Berger, 2010 .
  11. ↑ Nikolaev, 2001 .
  12. ↑ Struik, 1978 .
  13. ↑ Toponogov, 2012 .
  14. ↑ Alekszejevszkij, Vinogradov, Lychagin, 1988 .
  15. ↑ Cohn-Vossen, 1929 .
  16. ↑ Blaschke, 1929 .
  17. ↑ 1 2 Hamburger, 1922 , p. 258-262.
  18. ↑ Hamburger, 1924 , p. 50-66.
  19. ↑ Bol, 1944 , p. 389-410.
  20. ↑ Blaschke, 1945 , p. 201–208.
  21. ↑ Klotz, 1959 , p. 277-311.
  22. ↑ Scherbel, 1993 .
  23. ↑ Titus, 1973 , p. 43-77.
  24. ↑ Sotomayor, Mello, 1999 , p. 49-58.
  25. ↑ Gutierrez, Sotomayor, 1998 , p. 291-322.
  26. ↑ Ivanov, 2002 , p. 315.
  27. ↑ Guilfoyle, Klingenberg, 2013 .
  28. ↑ Ghomi, 2017 .
  29. ↑ Ghomi, Howard, 2012 , p. 4323-4335.

Irodalom