Konvex metrikus tér

A konvex metrikus terek intuitív módon metrikus terekként definiálhatók, azzal a tulajdonsággal, hogy bármely "szegmens", amely a tér két pontját összeköti, a végein kívül más pontokat is tartalmaz.

Definíció

Tekintsünk egy metrikus teret ( X , d ), és legyen x és y két pont X -ben . Egy z pont X - ben x és y között van , ha mindhárom pont páronként különbözik, és

{\megjelenítési stílus d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),}

vagyis a háromszög egyenlőtlenség egyenlővé válik. A konvex metrikus tér egy olyan metrikus tér ( X , d ), ahol az X -ben lévő két különálló x és y pont esetén van egy harmadik z pont az X -ben , amely x és y között helyezkedik el .

Jegyzetek

Metrikus dudor:

az euklideszi tér részhalmazainál nem jár a szokásos értelemben vett konvexséggel (lásd a racionális számok példáját)
nem jár összeköttetéssel (lásd a racionális számok példáját)
nem vonja maga után a Riemann-sokaságok geodéziai konvexitását (angolul ).

Példák

Az euklideszi terek, vagyis a szokásos háromdimenziós tér és más dimenziókra vonatkozó analógjai konvex metrikus terek. Adott két tetszőleges külön pont és egy ilyen térben a fenti "háromszög egyenlőséget" kielégítő összes pont halmaza egy szakaszt képez és között, amely mindig tartalmaz más pontokat, mint és Valójában pontok folytonosságát tartalmazza . $x$ $y$ $z$ $x$ $y,$ $x$ $y.$

Az euklideszi térben lévő bármely konvex halmaz egy konvex metrikus teret képez az indukált euklideszi normával. én. Zárt halmazokra fordítva is igaz: ha egy euklideszi tér zárt részhalmaza az indukált távolsággal együtt konvex metrikus tér, akkor az is konvex halmaz (ez az általánosabb állítás speciális esete lent).
A kör konvex metrikus tér, ha két pont távolságát a kör pontjait összekötő legrövidebb ív hosszaként határozzuk meg.

Metrikus szegmensek

Legyen tetszőleges metrikus tér (nem feltétlenül konvex). Egy részhalmazt metrikus szegmensnek nevezünk két különböző pont között , és ha van numerikus szegmens és izometrikus leképezés. ${\megjelenítési stílus (X,d)}$ $S\subset X$ $x$ $y$ $x,$ $[a,b]$

\gamma :[a,b]\to X,

olyan, hogy és $\gamma ([a,b])=S,$ $\gamma (a)=x$ $\gamma (b)=y.$

Nyilvánvaló, hogy ennek a metrikus szegmensnek bármely pontja, kivéve a "végeit" és között helyezkedik el. Ebből következően, ha egy metrikus térben a tér bármely két különböző pontja között vannak metrikus szegmensek, akkor az egy konvex metrikus tér. $S$ $x$ $y$ $x$ $y.$ ${\megjelenítési stílus (X,d)}$

Általában fordítva nem igaz. A racionális számok egy konvex metrikus teret alkotnak a szokásos metrikával, de nincs olyan szegmens, amely két racionális számot köt össze, és csak racionális számokból állna. Mindazonáltal, ha egy konvex metrikus tér, és ráadásul teljes , akkor igazolható, hogy bármely két ponthoz létezik egy őket összekötő metrikus szegmens, általában véve nem az egyetlen. ${\megjelenítési stílus (X,d)}$ $x\ney$ $x$

Konvex metrikus terek és konvex halmazok

Amint azt a példák részben megjegyeztük, az euklideszi tér zárt részhalmazai akkor és csak akkor alkotnak konvex metrikus tereket, ha konvex halmazok. Természetes azt feltételezni, hogy a konvex metrikus terek a konvexitás fogalmának általánosításai, ahol a lineáris szakaszokat metrikus szegmensek helyettesítik.

Meg kell azonban jegyezni, hogy az így meghatározott metrikus konvexitásból hiányzik az euklideszi konvex halmazok egyik legfontosabb tulajdonsága, nevezetesen két konvex halmaz metszéspontjának konvexitása. Valójában, amint arra a példák részben rámutattunk, egy kör a két pont közötti távolsággal, amelyet az őket összekötő legrövidebb ív hosszaként mérünk, egy konvex és teljes metrikus teret alkot .

Ha azonban és a kör két pontja, amelyek átlósan ellentétesek egymással, akkor két metrikus szakasz köti össze őket. Ez a két ív metrikusan konvex, de metszéspontja nem metrikusan konvex. $x$ $y$ ${\megjelenítési stílus \{x,y\))$

Lásd még

belső mérőszám

Bibliográfia

Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A.Bevezetésa metrikus terekbe és a fixpont elméletbe . - Wiley-IEEE, 2001. - ISBN 0-471-41825-0 .

Kaplansky, Irving. Halmazelmélet és metrikus terek (neopr.) . - American Mathematical Society, 2001. - ISBN 0-8218-2694-8 .