Konvex függvény

A konvex függvény ( konvex felfelé függvény ) olyan függvény , amelynél a gráf bármely két pontja közötti szakasz a vektortérben nem magasabb, mint a gráf megfelelő íve. Ekvivalens: konvex olyan függvény, amelynek részgráfja konvex halmaz .

A konkáv függvény ( lefelé konvex függvény ) olyan függvény, amelynek a gráf bármely két pontja közötti húrja nem alacsonyabb, mint a gráf formált íve, vagy ennek epigráfja egy konvex halmaz.

A konvex és a konkáv függvény fogalma duális , sőt egyes szerzők konvex függvényt konkávnak definiálnak, és fordítva [1] . A félreértések elkerülése végett néha egyértelműbb kifejezéseket használnak: lefelé konvex függvény és felfelé konvex függvény.

A koncepció fontos a klasszikus matematikai analízis és a funkcionális analízis szempontjából , ahol különösen a konvex funkcionálisokat tanulmányozzák , valamint az olyan alkalmazásokhoz, mint az optimalizálási elmélet , ahol egy speciális alszakasz a megkülönböztetett- konvex elemzés .

Definíciók

Egy bizonyos intervallumon (általában valamely vektortér konvex részhalmazán ) definiált numerikus függvény konvex , ha az argumentum bármely két értékére és bármely számra a Jensen-egyenlőtlenség érvényes : $x$ $y$ $t\in\left[0,1\right]$

f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \jobb)

Jegyzetek

Ha ez az egyenlőtlenség szigorú minden és esetén, akkor a függvényt szigorúan konvexnek mondjuk . $t\in\left(0,1\right)$ $x\ney$
Ha fennáll a fordított egyenlőtlenség, akkor a függvényt homorúnak mondjuk (illetve szigorúan konkávnak ).
Ha egyesekre érvényes az erősebb egyenlőtlenség $\varepsilon >0$ $f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|xy\right|^{2}$

akkor a függvényt erősen konvexnek mondjuk .

Tulajdonságok

Egy intervallumon konvex függvény mindenben folytonos , mindenben differenciálható , legfeljebb egy megszámlálható ponthalmazt kivéve, és majdnem mindenhol kétszer differenciálható . $f$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$
Bármely konvex függvény aldifferenciálható ( aldifferenciálással rendelkezik ) a teljes definíciós tartományban.
Egy konvex függvénynek van egy támaszhipersíkja az epigráfjának , amely bármely ponton áthalad .
Egy folytonos függvény akkor és csak akkor konvex, ha az egyenlőtlenség $f$ ${\mathbb {I}}$ $x,y\in {\mathbb {I}}$ $f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}$
Egy változó folytonosan differenciálható függvénye akkor és csak akkor konvex egy intervallumon, ha a gráfja a konvexitási intervallum bármely pontján nem esik a gráfhoz rajzolt érintő ( hipersík ) alatt.
Egy intervallumon egy változó konvex függvényének bal és jobb deriváltja van; a bal oldali derivált egy pontban kisebb vagy egyenlő, mint a jobboldali derivált; konvex függvény deriváltja nem csökkenő függvény.
Egy változó kétszer differenciálható függvénye akkor és csak akkor konvex egy intervallumon, ha a második deriváltja nem negatív ezen az intervallumon. Ha egy kétszer differenciálható függvény második deriváltja szigorúan pozitív, akkor egy ilyen függvény szigorúan konvex, de fordítva nem igaz (például a függvény szigorúan konvex -on , de a második deriváltja egy pontban nullával egyenlő) . ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{4))$ $\left[-1,1\right]$ $x=0$
Ha a , függvények konvexek, akkor bármely pozitív együtthatójú lineáris kombinációjuk is konvex. $f$ $g$ $af+bg$ $a$ $b$
Egy konvex függvény lokális minimuma egyben a globális minimum is (illetve felfelé konvex függvényeknél a lokális maximum a globális maximum).
A konvex függvény bármely stacionárius pontja globális szélsőség lesz.

Jegyzetek

↑ Klyushin V. L. Felsőfokú matematika közgazdászok számára / szerk. I. V. Martynova. - Oktatási kiadás. - M. : Infra-M, 2006. - S. 229. - 448 p. — ISBN 5-16-002752-1 .

Irodalom

Konvexitás és homorúság / Telyakovsky S. A. // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
Konvexitás és homorúság // Kazahsztán. Nemzeti Enciklopédia . - Almati: Kazah enciklopédiák , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (Orosz) (CC BY SA 3.0)