Extrémum

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Extrémum ( lat. extremum - extrém) a matematikában - egy függvény maximális vagy minimális értéke egy adott halmazon . Azt a pontot, ahol a szélsőértéket elérjük, szélsőpontnak nevezzük . Ennek megfelelően, ha a minimumot elérjük, akkor a szélsőpontot minimumpontnak , a maximumot pedig maximum pontnak nevezzük . A matematikai elemzésben a lokális szélsőség fogalmát is megkülönböztetik (minimum vagy maximum) .

Az extrémum megtalálásának problémái az emberi tudás minden területén felmerülnek: az automatikus vezérlés elméletében , a közgazdaságtanban , a biológiában , a fizikában stb. [1]

Definíciók

Legyen egy függvény és a definíciós tartomány belső pontja $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\in M^{0}$ $f.$

$x_{0}$ egy függvény lokális maximumpontjának nevezzük, ha létezik olyan átszúrt környék , hogy $f,$ ${\pont {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ egy függvény lokális minimumpontjának nevezzük, ha létezik olyan átszúrt környék $f,$ ${\pont {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

$x_{0}$ globális (abszolút) maximumpontnak nevezzük, ha $\forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ globális (abszolút) minimumpontnak nevezzük, ha $\forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

Ha a fenti egyenlőtlenségek szigorúak, akkor azt szigorú lokális vagy globális maximum, illetve minimum pontnak nevezzük. $x_{0}$

A függvény értékét (szigorú) lokális, illetve globális maximumnak, illetve minimumnak nevezzük. Azokat a pontokat, amelyek egy (lokális) maximum vagy minimum pontjai, a (lokális) szélsőség pontjainak nevezzük. $f(x_{0})$

Megjegyzés

Egy halmazon definiált függvény nem tartalmazhat lokális vagy globális szélsőértéket. Például, $f,$ $M,$ $f(x)=x,\;x\in (-1,1).$

A lokális szélsőségek fennállásához szükséges feltételek

Fermat lemmájából [2] a következő következik :

Legyen a pont a pont valamely szomszédságában meghatározott függvény szélsőpontja .

x_{0}

f

x_{0}

Ekkor vagy nem létezik a derivált, vagy .

f'(x_{0})

f'(x_{0})=0

Ezek a feltételek nem elegendőek, így a függvénynek lehet nulla deriváltja egy pontban, de ez a pont nem lehet szélsőpont, hanem lehet mondjuk egy inflexiós pont , mint a függvény (0,0) pontja . $f(x)=x^{3}$

Elegendő feltételek a lokális szélsőségek létezéséhez

Legyen a függvény folytonos -ben és léteznek véges vagy végtelen egyoldalú deriváltak . Akkor a feltételek mellett $f\in C(x_{0})$ $x_{0}\in M^{0},$ $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$

f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0

$x_{0}$ szigorú helyi maximum pontja. Mi van ha

f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,

akkor a szigorú lokális minimum pontja. $x_{0}$

Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben a függvény nem feltétlenül differenciálható a pontban . $x_{0}$

Legyen a függvény folytonos és kétszer differenciálható a pontban . Akkor a feltételek mellett $f$ $x_{0}$

f'(x_{0})=0

és

f''(x_{0})<0

$x_{0}$ egy helyi maximumpont. Mi van ha

f'(x_{0})=0

és

f''(x_{0})>0

ami egy helyi minimumpont. $x_{0}$

Legyen a függvény differenciálható idő az és pontban , és . $f$ $n$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\pontok =f^{{(n-1)}}(x_{0})=0$ $f^{{(n)}}(x_{0})\neq 0$

Ha és páros , akkor a helyi maximumpont. Ha és páros , akkor egy helyi minimumpont. Ha páratlan, akkor nincs szélsőség. $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})<0$ $x_{0}$ $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})>0$ $x_{0}$ $n$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Búza, 1969 , p. 7.
↑ Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés. - 2. kiadás - M . : Felsőiskola , 1973. - T. 1.

Irodalom

Búza B.N. Az extrémumhoz szükséges feltételek. — M .: Nauka, 1969. — 150 p.