Beírt-körírt négyszög

A beírt-körírt négyszög egy konvex négyszög , amelynek van egy beírt köre és egy körülírt köre is . A definícióból következik, hogy a beírt-körírt négyszögek mind a körülírt négyszögek , mind a beírt négyszögek összes tulajdonságával rendelkeznek . Ezeknek a négyszögeknek más nevei: húr-tangens négyszög [1] és bicentrikus négyszög . Kétkörös négyszögnek is nevezik [2] .

Ha két, egymáson belüli kör valamelyik négyszög beírt köre és körülírt köre, akkor a körülírt kör bármely pontja egy olyan (esetleg eltérő) beírt négyszög csúcsa, amelynek ugyanaz a beírt és körülírt köre [3] . Ez a Poncelet-féle porizmus következménye , amelyet Jean-Victor Poncelet (1788–1867) francia matematikus bizonyított.

Különleges alkalmak

A beírt-körírt négyszögek példái a négyzetek , a téglalap alakú deltoidok és az egyenlő szárú körülírt trapézok .

Leírás

Az a , b , c , d oldalú ABCD konvex négyszög akkor és csak akkor bicentrikus, ha a szemközti oldalak kielégítik a körülírt négyszögekre vonatkozó Pitot-tételt és a beírt négyszögek azon tulajdonságát, hogy a szemközti szögek 180 fokot adnak össze, azaz.

{\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases))

Három másik leírás azokra a pontokra vonatkozik, ahol a körülírt négyszögbe írt kör érinti az oldalakat. Ha egy körív érinti az AB , BC , CD és DA oldalakat a W , X , Y és Z pontokban , akkor az ABCD körülírt négyszög is körülírt akkor és csak akkor, ha a következő három feltétel valamelyike teljesül [4] :

A WY szegmens merőleges az XZ -re
${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

A három feltétel közül az első azt jelenti, hogy a WXYZ érintkezőnégyszög egy merőleges négyszög .

Ha E , F , G , H a WX , XY , YZ , ZW felezőpontjai , akkor egy körülírt ABCD négyszög is akkor és csak akkor van körülírva, ha az EFGH négyszög téglalap [4] .

Egy másik leírás szerint, ha I egy olyan beírt négyszög beírt körközéppontja, amelynek szemközti oldalhosszabbításai J és K pontban metszik egymást , akkor a négyszög akkor és csak akkor körülírt , ha JIK derékszög [4] .

Egy másik szükséges és elégséges feltétel, hogy egy körülírt ABCD négyszög akkor és csak akkor legyen körülírva, ha Gauss -vonala merőleges a WXYZ érintkezőnégyszögének Gauss-vonalára . (Egy négyszög Gauss-vonalát az átlók felezőpontja határozza meg.) [4]

Épület

Van egy egyszerű módszer a bicentrikus négyszög megszerkesztésére:

Az építést egy I középpontú és r sugarú beírt C r körrel kezdjük, majd a beírt C r körbe húzunk két egymásra merőleges WY és XZ húrt . Az akkordok végein a beírt körhöz a , b , c és d érintőket húzunk. Az A, B, C és D pontokban metszik egymást , amelyek a beírt-körírt négyszög csúcsai [5] . A körülírt kör megrajzolásához húzzunk két p 1 és p 2 mediális merőlegest az a és b beírt-körírt négyszög oldalaira . A C R körülírt kör O középpontjában metszik egymást x távolságra a C r beírt kör I középpontjától .

Ennek a konstrukciónak az érvényessége abból adódik, hogy az ABCD körülírt négyszögben a WXYZ érintkezőnégyszögnek akkor és csak akkor van merőleges átlója , ha a körülírt négyszög is beírt .

Terület

Képletek négy mennyiségben

Egy beírt-körülírt négyszög K területe többféleképpen is kifejezhető a négyszög négy dimenziójával. Ha a , b , c és d oldalak, akkor a területet [3] [6] [7] [8] [9] adja meg.

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.

Ez Brahmagupta képletének egy speciális esete . A képlet közvetlenül is beszerezhető a körülírt négyszög területének trigonometrikus képletéből . Megjegyzendő, hogy ennek fordítottja nem áll fenn – néhány nem bicentrikus négyszögnek is van területe [10] . Ilyen négyszög például egy téglalap (különböző oldalakkal, nem négyzet). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$

A terület a csúcstól az érintkezési pontig tartó szakaszokkal fejezhető ki (a rövidség kedvéért ezeket a hosszúságokat érintőhosszoknak nevezzük) e , f , g , h [11]

K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).

Az ABCD beírt-körírt négyszög területének képlete az I beírt kör középpontjával [7]

K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Ha egy beírt-körülírt négyszögnek k , l érintőhúrjai és p , q átlói vannak, akkor területe [12]

K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Ha k , l érintőhúrok és m , n négyszög bimediánok , akkor a terület a [7] képlettel számítható ki .

K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

A képlet nem használható, ha a négyszög derékszögű deltoid , mert ebben az esetben a nevező nulla.

Ha M és N az átlók felezőpontja, E és F pedig az oldalak meghosszabbításának metszéspontja, akkor a beírt négyszög területét a

K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}

ahol I a beírt kör középpontja [7] .

Képletek három mennyiségben

Egy beírt-körírt négyszög területe két szemközti oldallal és az átlók közötti θ szöggel fejezhető ki a következő képlet szerint: [7]

K=ac\mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}=bd\mathrm {ctg} \,{\frac {\theta }{2}}.

Két szomszédos szög és a beírt kör r sugara tekintetében a területet a [7] képlet adja meg.

K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).

A területet a körülírt kör R sugarában és a beírt kör r sugarában adjuk meg:

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})\sin \theta

ahol θ az átlók közötti szögek bármelyike [13] .

Ha M és N az átlók felezőpontja, E és F pedig a szemközti oldalak kiterjesztésének metszéspontja, akkor a terület a képlettel fejezhető ki.

K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}

ahol Q a beírt kör középpontjából induló EF egyenesre merőleges alapja [7] .

Egyenlőtlenségek

Ha r és R a beírt kör sugara, illetve a körülírt kör sugara, akkor a K terület kielégíti a kettős egyenlőtlenséget [14].

\displaystyle 4r^{2}\leqslant K\leqslant 2R^{2}.

Csak akkor kapunk egyenlőséget, ha a négyszög négyzet .

A területre vonatkozó másik egyenlőtlenség a következő lenne : [15] :p.39,#1203

{\displaystyle K\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

ahol r és R a beírt kör sugara, illetve a körülírt kör sugara.

Hasonló egyenlőtlenség, amely jobb felső korlátot ad a területnek, mint az előző [13]

K\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})

és az egyenlőség akkor és csak akkor érhető el, ha a négyszög jobb oldali deltoid .

Továbbá az a, b, c, d oldalakkal és s fél kerületével :

2{\sqrt {K}}\leqslant qs\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

[15] :p.39,#1203

6K\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2))};

[15] :p.39,#1203

4Kr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).

[15] :p.39,#1203

Szögképletek

Ha a , b , c és d az AB , BC , CD és DA oldalak hossza az ABCD beírt-körírt négyszögben , akkor annak csúcsszögei a [7] érintő segítségével számíthatók ki :

\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{ 2}},

\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {D}{ 2}}.

Ugyanezt a jelölést használva a szinuszokra és koszinuszokra a következő képletek teljesülnek [16] :

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},

\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.

Az átlók közötti θ szög a [8] képletből számítható ki .

\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.

A beírt kör sugara és a körülírt kör sugara

A beírt-körírt négyszög r beírt körének sugarát az a , b , c , d oldalak határozzák meg a [3] képlet szerint.

\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.

Az R körülírt kör sugara a Paramesvara-képlet speciális esete [3]

\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.

A beírt kör sugara az egymást követő e , f , g , h érintőhosszokkal is kifejezhető a [17] képlet szerint .

\displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.

Ez a két képlet valójában szükséges és elégséges feltétele egy r beírt kör sugarú körülírt négyszög beírásának .

A beírt-körírt négyszög négy oldala a , b , c , d a negyedik fokú egyenlet megoldása

y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})y^{ 2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0

ahol s a fél kerülete és r és R a beírt kör sugara, illetve a körülírt kör sugara [18] .

Ha van egy r beírt körsugarú beírt- körülírt négyszög , amelynek érintőhosszai egyenlők e , f , g , h -val, akkor van egy r v beírt kör sugarú beírt- körülírt négyszög , amelynek érintőhosszai : ahol v tetszőleges valós szám lehet [19] . ${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v))$

Egy beírt-körírt négyszögnek nagyobb a kör sugara, mint bármely más körülírt négyszögnek, amelynek oldalhossza azonos ugyanabban a sorozatban [20] .

Egyenlőtlenségek

A körülírt kör R sugara és a beírt kör sugara kielégíti az egyenlőtlenséget

R\geqslant {\sqrt {2}}r

amit Fejes Tóth L. 1948-ban [21] bizonyított . Egy egyenlőtlenség csak akkor válik egyenlővé, ha a két kör koncentrikus (a középpontok azonosak). Ebben az esetben a négyszög négyzet . Az egyenlőtlenség többféleképpen igazolható, egyik módja a kettős egyenlőtlenség alkalmazása a fenti területre.

Az előző egyenlőtlenség általánosítása [2] [22] .

{\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos { \frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos { \frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1

ahol az egyenlőtlenség akkor és csak akkor válik egyenlővé, ha a négyszög négyzet [23] .

Egy beírt-körülírt négyszög s félperimétere kielégíti [24]

{\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2))}-r\right)}}\leqslant s\leqslant {\sqrt {4R^{2}+ r^{2}}}+r

ahol r és R a beírt kör sugara, illetve a körülírt kör sugara.

Sőt, [15] :p.39,#1203

{\displaystyle 2sr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2))})^{2))

és

abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).

[15] :p.62,#1599

A beírt kör középpontja és a körülírt kör középpontja közötti távolság

Fuss tétel

A Fuss-tétel összefüggést ad az r beírt kör sugara , a körülírt kör R sugara, valamint az I beírt kör középpontja és az O körülírt kör középpontja közötti x távolság között bármely kétcentrikus négyszög esetén. Az összefüggést az [1] [9] [25] képlet adja meg .

{\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}},

Vagy ezzel egyenértékűen

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

A képletet Nyikolaj Ivanovics Fuss (1755–1826) származtatta 1792-ben. Ha x -et megoldunk , azt kapjuk

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

A beírt-körírt négyszögekre vonatkozó Fuss-tétel, amely analóg Euler háromszögek tételével , kimondja, hogy ha egy négyszög bicentrikus, akkor a hozzá tartozó két kör a fenti képlettel van összefüggésben. Valójában ennek a fordítottja is igaz – ha két R és r sugarú kört adunk meg (egyik a másik belsejében), és a középpontjuk közötti x távolság kielégíti a Fuss-tétel feltételét, akkor az egyik körbe egy konvex négyszög van beírva. , a másik kör pedig a [26] négyszögbe lesz beírva (és akkor a Poncelet-tétel szerint végtelen sok ilyen négyszög van).

Ha felhasználjuk azt a tényt, hogy a Fuss-tétel kifejezésében a már említett egyenlőtlenséget más módon kapjuk , az egyenlőtlenség általánosítása [27] $x^{2}\geqslant 0$ $R\geqslant {\sqrt {2}}r.$

2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.

Identity Karlitz

A beírt kör és a körülírt kör középpontjai közötti x távolság másik képlete Leonard Karlitz (1907–1999) amerikai matematikusnak köszönhető. A képlet kimondja, hogy [28] .

\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu

ahol r és R a beírt kör sugara, illetve a körülírt kör sugara , és

\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)))}={\sqrt {\ frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}

ahol a , b , c , d a beírt-körírt négyszög oldalai.

Egyenlőtlenségek érintőhosszokra és oldalakra

Az e , f , g , h érintőhosszokra a következő egyenlőtlenségek érvényesek [29] :

{\displaystyle 4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

és

4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r ^{2})

ahol r a beírt kör sugara, R a körülírt kör sugara, x pedig e körök középpontjai közötti távolság. Az a , b , c , d oldalak kielégítik az egyenlőtlenségeket [27]

{\displaystyle 8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

és

4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).

A beírt kör középpontjának egyéb tulajdonságai

A körülírt kör középpontja , a beírt kör középpontja és a beírt-körírt négyszög átlóinak metszéspontja kollineáris . [harminc]

Az I kör középpontja és az ABCD bicentrikus négyszög csúcsai közötti négy távolságra a következő egyenlőség vonatkozik : [31]

{\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\ frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

ahol r a beírt kör sugara.

Ha a P pont az ABCD beírt négyszög átlóinak metszéspontja az I beírt kör középpontjával , akkor [32]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.

Van egy egyenlőtlenség a beírt kör r sugarára és a körülírt R kör sugarára az ABCD beírt- körülírt négyszögben [33]

{\displaystyle 4r^{2}\leqslant AI\cdot CI+BI\cdot DI\leqslant 2R^{2))

ahol I a beírt kör középpontja.

Az átlók tulajdonságai

A beírt-körírt négyszög átlóinak hossza oldalakkal vagy érintőhosszokkal fejezhető ki . Ezek a képletek a beírt négyszögekre , illetve a körülírt négyszögekre érvényesek .

Egy p és q átlójú beírt-körírt négyszögben a [34] azonosság igaz :

\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1

ahol r és R a beírt kör sugara, illetve a körülírt kör sugara . Ez az identitás átírható a következőre: [13]

r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}

vagy másodfokú egyenletként megoldva az átlók szorzatára vonatkozóan, kapjuk

pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\jobb).

A p , q átlók szorzatára egy beírt-körírt négyszögben van egyenlőtlenség [14]

{\displaystyle \displaystyle 8pq\leqslant (a+b+c+d)^{2))

ahol a , b , c , d oldalak. Az egyenlőtlenséget Murray S. Klumkin bizonyította 1967-ben.

Lásd még

Beírt-körülírt sokszög
Körül nem írt négyszög

Jegyzetek

↑ 1 2 Dörrie, 1965 , p. 188–193.
↑ 2008. június 12. , p. 119-121.
↑ 1 2 3 4 Eric Weisstein, Bicentric Quadrilateral at MathWorld , [1] Archivált : 2019. január 23. a Wayback Machine -nél , Hozzáférés dátuma: 2011.08.13.
↑ 1 2 3 4 Josefsson, 2010 , p. 165–173.
↑ Alsina, Nelsen, 2011 , p. 125–126.
↑ Josefsson, 2010 , p. 129.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Josefsson, 2011 , p. 155–164.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , p. 28, 30.
↑ Yiu 12. , 1998. , p. 158-164.
↑ Lord, 2012 , p. 345-347.
↑ Josefsson, 2010 , p. 128.
↑ Josefsson, 2010a , p. 129.
↑ 1 2 3 Josefsson, 2012 , p. 237–241.
↑ 1 2 Alsina, Nelsen, 2009 , p. 64–66.
↑ 1 2 3 4 5 6 A Crux Mathematicorum , 2007-ben javasolt egyenlőtlenségek . [2] Archivált 2021. április 27-én a Wayback Machine -nél
↑ Josefsson, 2012 , p. 79–82.
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , p. 41.
↑ Pop, 2009 , p. 754.
↑ Radic, 2005 , p. 9-10.
↑ Hess, 2014 , p. 392–393.
↑ Radic, 2005 .
↑ Shattuck, 2018 , p. 141.
↑ Josefsson, 2012 , p. 81.
↑ Radic, 2005 , p. 13.
↑ Salazar, 2006 , p. 306–307.
↑ Byerly, 1909 , p. 123–128.
↑ 1 2 Radic, 2005 , p. 5.
↑ Calin, 2010 , p. 153–158.
↑ Radic, 2005 , p. 3.
↑ Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [3] Archiválva : 2004. április 26., a Wayback Machine , 2004.
↑ Juan Carlos Salazar, Fuss Theorem for Bicentric Quadrilateral , 2003, [4] .
↑ Crux Mathematicorum 34 (2008) no 4, p. 242.
↑ Bejegyzés a Problémamegoldás művészetében , 2009
↑ Yiu, 1998 , p. 158-164.

Irodalom

Heinrich Dorrie. Az elemi matematika 100 nagy problémája: történetük és megoldásaik. - New York: Dover, 1965. - S. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
Eric W. Weisstein. Poncelet Transverse // MathWorld - A Wolfram webes forrás,.
Martin Josephson. Bicentrikus négyszögek jellemzése // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 . – S. 165–173 .
Martin Josephson. Számítások egy érintőnégyszög érintőhosszaira és érintési húrjaira // Forum Geometricorum. – 2010a. - T. 10 . – S. 119–130 .
Martin Josephson. Egy bicentrikus négyszög területe // Forum Geometricorum. - 2011. - T. 11 . – S. 155–164 .
Martin Josephson. Yun egyenlőtlenségének új bizonyítéka bicentrikus négyszögekre // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . – 79–82 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. A matematika ikonjai. Húsz kulcsképből álló felfedezés. - Mathematical Association of America, 2011. - S. 125-126. - ISBN 978-0-88385-352-8 .
Nick Lord. Négyszögek területképlettel // Matematikai Közlöny. - 2012. - július ( 96. v. ). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$
Martin Josephson. Egy bicentrikus négyszög maximális területe // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . – S. 237–241 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. Amikor a kevesebb több: az alapvető egyenlőtlenségek megjelenítése . - Mathematical Association of America, 2009. - P. 64-66 . — ISBN 978-0-88385-342-9 .
Durell CV, Robson A. Haladó trigonometria. – Dover, 2003.
Radic M., Kaliman Z., Kadum V. Feltétel, hogy a tangenciális négyszög egyben akkordális is. - Matematikai Kommunikáció, 2007. - V. 12. - S. 33–52.
Ovidiu T. Pop. Identitások és egyenlőtlenségek négyszögben // Octogon Mathematical Magazine. - 2009. - október ( 17. évf. 2. szám ). - S. 754-763 .
Mirko Radic. Bicentrikus négyszögekre, hatszögekre és nyolcszögekre vonatkozó bizonyos egyenlőtlenségek // Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. - 2005. - T. 6 , sz. 1 .
Zhang Yun. Az Euler-féle egyenlőtlenség újragondolása // Matematikai spektrum. - 2008. - május ( 40. köt. , 3. szám ). - S. 119-121 .
Mark Shattuck. A ciklikus négyszögek geometriai egyenlőtlensége // Forum Geometricorum. - 2018. - T. 18 . - S. 141-154 .
Paul Yiu. Euklideszi geometria . - 1998. - S. 158-164.
Juan Carlos Salazar. Fuss-tétel // Matematikai Közlöny. - 2006. - július ( 90. köt. ). – S. 306–307 .
Byerly W.E. The In-and-Circumscribed Quadrilateral // The Annals of Mathematics. - 1909. - T. 10 . – S. 123–128 . - doi : 10.2307/1967103 .
Ovidiu Calin. Az euklideszi és nemeuklideszi geometria metrikus megközelítés . - 2. kiadás .. - Wiley Custom Publishing, 2010. - S. 153-158.
Albrecht Hess. Tangenciális négyszögek középpontjait tartalmazó körön // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14 . – S. 389–396 .