Egy háromszög beírt és körülírt körei

A háromszögbe írt kör olyan kör, amely a háromszög minden oldalát érinti; a legnagyobb kör , amely egy háromszög belsejében lehet. Ennek a körnek a középpontja a háromszög felezőinek metszéspontja, és a háromszög középpontjának nevezzük .

A háromszög körvonala olyan kör, amely a háromszögön kívül esik, és érinti a háromszög egyik oldalát és a másik két oldal kiterjesztését . Minden háromszögnek három különálló köre van, amelyek mindegyike a háromszög másik oldalát érinti. A kör középpontja az egyik belső szög felezőjének és a másik két külső szög felezőjének en] metszéspontja . Mivel egy belső szög felezője merőleges egy szomszédos külső szög felezőjére, a beírt kör középpontja a körök három középpontjával együtt ortocentrikus rendszert alkot [1] .

Nem minden háromnál több oldalú sokszögben van beírt kör. Azokat, amelyeknek van, leírásnak nevezzük .

Kapcsolat egy háromszög területével

A beírt és a körkörök sugara szorosan összefügg a háromszög területével . [2]

Beírt kör

Legyen egy r sugarú beírt köre I középponttal . Legyen a a BC hossza , b az AC , c pedig az AB hossza . Hagyja, hogy a beírt kör érintse AB -t egy C′ pontban , akkor ez egy egyenes. Ekkor a C'I sugár a háromszög magassága lesz . Így alapja c hosszúságú és r magasságú , ezért területe egyenlő . Hasonlóan van területe és van területe . Mivel ez a három háromszög kettévált , ezt kapjuk $\háromszög ABC$ $\szög AC'I$ $\háromszög IAB$ $\háromszög IAB$ ${\tfrac {1}{2}}kr$ $\háromszög IAC$ ${\tfrac {1}{2}}br$ $\háromszög IBC$ ${\tfrac {1}{2}}ar$ $\háromszög ABC$

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,

hol van a terület és a fél kerülete . $\Delta$ $\háromszög ABC$ $p={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

Ha másik képletet szeretne kapni, fontolja meg a . Ez egy derékszögű háromszög, amelyben az egyik szár egyenlő r -el , a másik pedig egyenlő -val . Ugyanez igaz a . Az egész háromszög 6 ilyen háromszögből áll, és a teljes terület: $\háromszög IC'A$ $r\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2))$ $\háromszög IB'A$

\Delta =r^{2}\cdot (\mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2))+\mathrm {ctg} {\frac {\angle B}{2))+ \mathrm {ctg} {\frac {\angle C}{2)))

Kizárja

Érintse meg az AB oldalt érintő excirce az AC oldal kiterjesztését a G pontban , és legyen ennek a körnek a sugara, középpontja pedig legyen . Ekkor a háromszög magassága és területe is . Ugyanezen okok miatt van területe , de van területe . Akkor $r_{c}$ $én_{c}$ $I_{c}G$ $\háromszög ACI_{c}$ $\háromszög ACI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$ $\háromszög BCI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ $\háromszög ABI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+bc)r_{c}=(pc)r_{c}

Tehát a szimmetria miatt

{\displaystyle \Delta =pr=(pa)r_{a}=(pb)r_{b}=(pc)r_{c))

A koszinusz törvénye alapján azt kapjuk

\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

Ezt az identitással kombinálva azt kapjuk $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$

\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2 }+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

De hát $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$

{\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2 }b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a +b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))\\&={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))),\ vége {igazítva}}

és ez a Heron képlete egy háromszög területének kiszámításához az oldalaihoz képest.

A Heron képletét a -val kombinálva megkapjuk $pr=\Delta$

r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{p^{2}}}={\frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}

Ugyanígy ad $(pa)r_{a}=\Delta$

r_{a}^{2}={\frac {p(pb)(pc)}{pa))

Ezekből a képletekből látható, hogy a körkörök mindig nagyobbak a beírtnál és a legnagyobb kör a leghosszabb oldalnak, a körök közül a legkisebb pedig a legkisebb oldalnak felel meg. A képletek további kombinációja a következőkhöz vezet: [3]

\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

A beírt kör területének aránya a háromszög területéhez képest kisebb vagy egyenlő , és egyenlőség csak szabályos háromszögeken érhető el . [négy] ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3))))$

Kapcsolódó buildek

A kilenc pontból álló kör és a Feuerbach - pont

Euler- kör tétel . A háromszög ortocentrumától a csúcsáig tartó magassági szakaszok felezőpontjait Euler - pontoknak nevezzük . A mediánok alapjai , a magasságok alapjai és az Euler-pontok ugyanazon a körön fekszenek , amelyet kilencpontos körnek nevezünk . [5]

Feuerbach tétele . A kilenc pontból álló kör érinti mindhárom kört és a beírt kört is négy különböző pontban. Az egyik az Euler-kör érintőpontja és a Feuerbach-pontként ismert beírt kör .

Háromszög és Gergonne pont

A Gergonne-háromszöget (az ABC háromszög esetében ) a beírt kör három oldalának három érintkezési pontja határozza meg. Ezeket a csúcsokat T A -val jelöljük , és így tovább.. A T A pont az A csúcsgal szemben helyezkedik el .

Ezt a T A T B T C Gergonne-háromszöget az ABC háromszög érintési háromszögének is nevezik .

Három egyenes AT A , BT B és CT C metszi egymást egy pontban - a Gergonne pontban , és Ge - X(7) -vel jelöljük . Gergonne pontja egy nyitott ortocentroid körben van, amelynek középpontja átlyukasztott. [6]

Érdekes módon a háromszög Gergonne-pontja a Gergonne - háromszög szimmediánjainak metszéspontja. A Gergonne pont tulajdonságainak teljes készlete megtalálható Dekov cikkében. [7]

Az érintőháromszög csúcsainak trilineáris koordinátáit a képletek adják meg

csúcs $A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
csúcs $B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
csúcs $C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

A Gergonne pont háromvonalas koordinátái

\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{ 2}\bal ({\frac {C}{2}}\jobb)

vagy ezzel egyenértékű a szinusztétel ,

{\frac {bc}{b+ca}}:{\frac {ca}{c+ab}}:{\frac {ab}{a+bc}}

A Gergonne-pont a Nagel-pont izotómikus konjugációja .

Háromszög és Nagel -pont

Az ABC háromszög Nagel-háromszögét (lásd a fenti ábrát) a T A , T B és T C csúcsok határozzák meg , amelyek az ABC háromszög köreinek érintkezési pontjai, és az X A pont ellentétes az A oldallal stb. háromszög T A T B T C a kört Mandart-körnek nevezzük (a Mandart-ellipszis speciális esete ). Három egyenes AT A , BT B és CT C felezi a kerületet, és egy Nagel-pontban metszi egymást Na - X(8) .

A háromszög érintési pontjainak háromvonalas koordinátáit a körökkel a képletek adják meg

csúcs $A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\jobb)$
csúcs $B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\jobb):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\jobb)$
csúcs $C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

A Nagel-pont trilineáris koordinátáit a képletek adják meg

\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\jobb):\csc ^{ 2}\bal ({\frac {C}{2}}\jobb)

vagy ezzel egyenértékű a szinusztétel ,

{\frac {b+ca}{a}}:{\frac {c+ab}{b}}:{\frac {a+bc}{c}}

A Nagel-pont a Gergonne -pont izotómikus konjugációja .

Beírt háromszögek háromvonalas koordinátái

A felezőpontok alapjaiból képzett háromszög csúcsainak trilineáris koordinátáit a képletek adják meg

csúcs $A=0:1:1$
csúcs $B=1:0:1$
csúcs $C=1:1:0$

A körök oldalainak érintkezési pontjaiból képzett háromszög trilineáris koordinátáit a képletek adják meg

csúcs $A=-1:1:1$
csúcs $B=1:-1:1$
csúcs $C=1:-1:-1$

Köregyenletek

Legyen x : y : z a pont trilineáris koordinátái , és legyen u = cos 2 (A/2) , v = cos 2 (B/2) , w = cos 2 (C/2) . A fent leírt négy kör a kétféleképpen határozható meg: [8]

Beírt kör:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z} }\cos {\frac {C}{2}}=0

A- külső felirattal:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

B- kívülről beírva:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

C- kívülről írva:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

A beírt kör egyéb tulajdonságai

Néhány képlet egy beírt kör sugarával

$r={\frac {pa}{\operátornév {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operátornév {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\operátornév {ctg} (\gamma /2)}}$ , a háromszög fél kerülete ( Cotangens tétel ). $p$

A beírt kör sugara nem több, mint a háromszög magasságainak összegének kilenced része. [9]

Euler-egyenlőtlenség : a beírt kör sugara nem haladja meg a körülírt kör sugarának felét, és az egyenlőség csak egy egyenlő oldalú háromszögre érvényes. [tíz]

Tegyük fel, hogy a beírt kör érintőpontjai az oldalakat x és y , y és z , z és x hosszúságú szakaszokra osztják . Ekkor a beírt kör sugara [11]

r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z))}

a háromszög területe pedig

K={\sqrt {xyz(x+y+z))).

Ha az a , b és c oldalakra esett magasságok h a , h b és h c , akkor az r beírt kör sugara egyenlő e magasságok harmonikus középértékének egyharmadával, azaz

r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.

Az a , b és c oldalú háromszög r beírt kör sugarának és R körülírt körének sugarának szorzata [1]

rR={\frac {abc}{2(a+b+c))).

Néhány összefüggés a beírt kör és a körülírt kör oldalai, sugarai között: [12]

ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,

a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.

A háromszögön áthaladó, a háromszög területét és kerületét kettéosztó egyenes átmegy a beírt kör középpontján. Lehet három, kettő vagy egy ilyen sor. [13]

A háromszög oldalaira emelt merőlegesek a körkörök érintkezési pontjaiban egy pontban metszik egymást. Ez a pont szimmetrikus a beírt kör középpontjával a körülírt kör középpontjához képest [14] .

Egy beírt vagy körvonal középpontjától való távolság képlete

Euler-tétel

Euler tétele kimondja, hogy egy háromszögben: [10]

(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},

ahol R és r in a körülírt és beírt körök sugarai, d pedig e körök középpontjai közötti távolság.

Kizárások esetén az egyenlet így néz ki:

(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},

ahol r ex az egyik kör sugara, d pedig a körülírt kör és a kör középpontjai közötti távolság. [15] [16] [17]

A fenti Euler első képletéből négyzetesre emelve és kihozva a lájkokat:

Az I beírt kör középpontjának és az O körülírt kör középpontjának négyzetes távolságát a [18] egyenlet adja meg .

OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),

Hasonlóan a második képlethez:

d^{2}=R(R+2r_{ex}).

Egyéb képletek a beírt vagy körvonal középpontjától való távolságra

A beírt kör középpontja és a kilenc pontból álló kör É -i középpontja közötti távolság [18]

IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.

A csúcstól a beírt kör szomszédos oldalakon lévő érintőpontjaiig mért távolság a szomszédos oldalak hosszának összegének fele mínusz az ellenkező oldal fele. [19] Tehát a B csúcs és a szomszédos TA és T C érintkezési pontok esetében ,

BT_{A}=BT_{C}={\frac {BC+AB-AC}{2}}.

Ha az ABC háromszög beírt körének középpontját I betűvel jelöljük ki , akkor [20] -ot kapunk.

{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}} =1

és [21]

IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.

Ha I -re kijelöljük az ABC háromszög beírt körének középpontját , AD az A szög felezőpontja , akkor ${\frac {AI}{DI}}={\frac {AB+AC}{BC}}$
A beírt kör középpontja egy olyan háromszögben van, amelynek csúcsai a háromszög oldalainak felezőpontjai. [tizennyolc]
Háromszög -tétel vagy háromszög-tétel , vagy Kleiner-tétel : Ha D az A szög felezőjének metszéspontja az ABC háromszög körülírt körével , akkor I és J a BC oldalt érintő beírt és körbeírt kör középpontja , akkor . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Munsion-tétel ( a Trident-tétel szerves része ). A beírt kör középpontját a körkörök középpontjával összekötő három szakasz felezőpontja a körülírt körön fekszik. [tíz]

Harcourt tétele . Adjuk meg a háromszöget A , B és C csúcsai , a csúcsokkal szemközti oldalak a , b és c hosszúságúak , területük egyenlő K -vel és az egyenes tetszőleges pontban érinti a háromszögbe írt kört . Jelöljük a háromszög csúcsaitól az egyenesig mért távolságokat a ' , b ' és c '-ként, míg ha a csúcs és a kör középpontja az egyenes ellentétes oldalán fekszik, akkor a távolság negatívnak tekinthető. Akkor

aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.

A excircle egyéb tulajdonságai

A következő összefüggés áll fenn a beírt kör r sugarára , a körülírt kör R sugarára, az s fél kerületére és az r a , r b , r c körök sugaraira : [12]

r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,

r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},

A körkörök középpontjain átmenő kör sugara 2 R . [12]

Ha H az ABC háromszög ortocentruma , akkor [12]

r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2} +(2R)^{2}.

Az ABC háromszög A , B és C csúcsai a J A J B ,J C háromszög magasságainak alapjai ,

ahol J A J B ,J C a körkörök középpontjai. [tíz]

A háromszög oldalaira emelt merőlegesek a körkörök érintkezési pontjaiban egy pontban metszik egymást. Ez a pont szimmetrikus a beírt kör középpontjával a körülírt kör középpontjához képest [14] .
Egy háromszög Spieker-középpontja köreinek gyökközéppontja [ 22] . Ha a háromszög Spiker-középpontjából 6 érintőt húzunk a háromszög 3 köréhez, akkor ezek mindegyike egyenlő lesz egymással.

Apollonius kerülete

Apollonius körének meghatározása

Legyen adott az ABC háromszög . Legyenek az ABC háromszög A , B és C csúcsokkal szemközti körei rendre E A , E B , E C (lásd az ábrát). Ekkor Apollonius E köre (a jobb oldali ábrán zölden látható) belül érinti az ABC háromszög három körét az E A , E B és E C pontokban (lásd az ábrát). [23] .

Apollonius körének sugara

Apollonius körének sugara , ahol r a beírt kör sugara, s pedig a háromszög fél kerülete. [24] ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$

Az Apollonius-pont Ap meghatározása

Clark Kimberling háromszögközpontjainak enciklopédiájában (ETC) az Ap Apollonius-pontot a háromszög középpontjaként emlegetikX(181) néven.
Az Apollonius-pont Ap vagy X(181) a következőképpen definiálható:

Legyenek A' , B' és C' az E Apollonius-kör érintőpontjai a megfelelő körökkel. Ekkor az AA' , BB' és CC' egyenesek egy Ap pontban metszik egymást , amelyet az ABC háromszög Apollonius-pontjának nevezünk .

Izogonális konjugáció

Egy izogonális konjugációnak pontosan négy fix pontja van (azaz önmagukhoz konjugált pont): a beírt kör középpontja és a háromszög köreinek középpontja. [25]

Egy háromszög ortocentruma izogonálisan konjugált ennek a háromszögnek a körülírt körének középpontjához. [25]

Általánosítás más sokszögekre

Néhány (de nem mindegyik) négyszögnek van beírt köre. Ezeket körülírt négyszögeknek nevezzük . Ezeknek a négyszögeknek a tulajdonságai közül a legfontosabb, hogy a szemközti oldalak összege egyenlő legyen. Ezt az állítást Pitot-tételnek nevezzük .
Néhány (de nem minden) négyszögnek van egy köre. Ezeket körön kívüli négyszögeknek nevezzük . E négyszögek tulajdonságai közül Urquhart tétele megjegyzi a legfontosabb tulajdonságot . Azt állítja:
Ha egy ABCD konvex négyszög szemközti oldalai az E és F pontokban metszik egymást , akkor

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Lásd még

Kerülje el
Körül nem írt négyszög
Beírt kör
Beírt és körülírt ábrák egy háromszöghez
Beírt kúpszelet
feliratos gömb
Háromszög magasság
A háromszög figyelemre méltó pontjai
A beírt kör középpontja vagy közepe
Kör
Behatárolt kör
Körülírt négyszög
Orthocenter
Egy pont körhöz viszonyított foka
Kúria tétele
háromágú tétel
Tebo 2. és 3. tétele
Harcourt tétele
Apollonius rámutat
Egy pont körhöz viszonyított foka
Spieker Center
Centroid
Háromszög középső
Ellipszis Mandart
Ellipszis Steiner

Jegyzetek

↑ 1 2 Roger A. Johnson. Fejlett euklideszi geometria . - Dover, 2007 (eredeti - 1929) .. - 189. o ., #298(d).
↑ HSM Coxeter. Bevezetés a geometriába . - 2. - Wiley, 1961 ..
↑ Marcus Baker. Képletgyűjtemény egy sík háromszög területének. - 1885. január - T. 1. rész, köt. 1. (6) bekezdése alapján . — S. 134-138 . . Lásd még a kötet 2. részét. 2(1), 1885. szeptember 11-18.)
↑ D. Minda, S. Phelps. Háromszögek, ellipszisek és köbös polinomok // American Mathematical Monthly . - 2008. október. - Kiadás. 115 . — P. 679-689: 4.1. tétel. .
↑ S. I. Zetel. Új háromszög geometria. - Moszkva: UCHPEDGIZ, 1962. - S. 52-53 III. fejezet.
↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. A háromszög középpontjainak elhelyezkedése // Forum Geometricorum. - 2006. - Kiadás. 6 . - S. 57-70. .
↑ Deko Dekov. Számítógéppel generált matematika : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. - 2009. - T. 1 . — P. 1–14. . Az eredetiből archiválva: 2010. november 5.
↑ William Allen Whitworth. Trilineáris koordináták és a két dimenzió modern analitikai geometriájának egyéb módszerei. - 2012. - S. 210-215. — (Elfelejtett könyvek).
↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. A háromszögek titkai. - Prometheus Books, 2012. - 289. o.
↑ 1 2 3 4 A. D. Kulanin, S. N. Fedin. Háromszög geometria feladatokban. - M . : "LIBROKOM" könyvesház, 2009. - ISBN 978-5-397-00786-3 .
↑ Thomas Chu. A Pentagon. - 2005. tavasz. - 45. o., 584. feladat ..
↑ 1 2 3 4 Amy Bell. Hansen derékszögű háromszög tétele, megfordítása és egy általánosítás // Forum Geometricorum. - 2006. - Kiadás. 6 . – S. 335–342 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Háromszög kiegyenlítők // Matematikai Magazin. - 2010. - Kiadás. 83, április . - S. 141-146. .
↑ 1 2 Myakishev, 2002 , p. 11, 5. tétel.
↑ Roger Nelson. Euler-háromszög egyenlőtlenség szavak nélküli bizonyítással // Mathematics Magazine. - 2008. február. - Kiadás. 81. (1) bekezdése alapján . - S. 58-61 .
↑ R. A. Johnson. modern geometria. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - 187. o.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler-képlet és Poncelet-porizmus // Forum Geometricorum. - 2001. - Kiadás. 1 . – S. 137–140. .
↑ 1 2 3 William N. Franzsen. A távolság a központtól az Euler-vonalig // Forum Geometricorum. - 2011. - T. 11 . – S. 231–236 . .
↑ Matematikai Közlöny , 2003. július, 323-324.
↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. A tizenkilencedik századi ellipszis azonosságának bizonyítása // Mathematical Gazette. - 2012. - Kiadás. 96, március . - S. 161-165. .
↑ Nathan Altshiller-Court. Főiskolai geometria. - Dover Publications, 1980. - P. 121, # 84.
↑ Odenhal, 2010 , p. 35-40.
↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. Az Apollonius-kör mint Tucker-kör // Forum Geometricorum. - 2002. - Kiadás. 2 . - S. 175-182 .
↑ Milorad R. Stevanovi´c. Az Apollonius-kör és a kapcsolódó háromszög középpontjai // Forum Geometricorum. - 2003. - Kiadás. 3 . - S. 187-195. .
↑ 1 2 V. V. Prasolov. Brocard pontok és izogonális ragozás. - M . : MTsNPO, 2000. - (Matematikai oktatás könyvtára). — ISBN 5-900916-49-9 .

Irodalom

Myakishev A.G. Háromszög geometriai elemek. — M. : MTsNMO, 2002.
Clark Kimberling. Háromszög középpontjai és középső háromszögei // Congressus Numerantium. - 1998. - Kiadás. 129 . - S. i-xxv, 1-295 .
Kiss Sándor. The Orthic-of-Touch és Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. - 2006. - Kiadás. 6 . - S. 171-177 .
Boris Odenhal. Néhány háromszög középpontja, amelyek a körkörök érintőjéhez kapcsolódnak // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .

Linkek

A háromszög beírt körének sugarának képletének származtatása
Weisstein, Eric W. Incircle (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Interaktív tartalommal rendelkező webhelyek

Háromszög behúzása Háromszög beírt Szabályos sokszög bekerete Interaktív animációkkal
Háromszög középpontjának / körvonalának megalkotása iránytűvel és egyenessel Interaktív animált bemutató
Egyenlő körök tétele a csomózásnál
Öt kör Tétel a csomózásnál
Körkörpárok egy négyszögben a csomózásnál
Egy interaktív Java kisalkalmazás a központba