A belső automorfizmus egyfajta csoportautomorfizmus , amelyet a csoport rögzített elemeként határoznak meg, amelyet konjugált elemnek neveznek . Formálisan, ha G egy csoport és a a G csoport eleme , akkor az a elem által definiált belső automorfizmus az f leképezése G - ből önmagába, amelyet minden x -re G -ből a képlet határoz meg.
f ( x ) = a −1 xa .Itt azt a konvenciót használjuk, hogy a csoportelemek a jobb oldalon hatnak.
Az x ↦ a −1 xa műveletet konjugációnak nevezik (lásd még „ Konjugáltsági osztály ”), és gyakran érdemes elkülöníteni azokat az eseteket, amikor az egyik elem segítségével történő konjugáció egy másik elemet változatlanul hagy, attól az esettől, amikor a konjugáció egy elemet egy másik elemmé alakít át. elem.
Valójában, ha azt mondjuk, hogy x konjugálása x - szel változatlan marad , az egyenlő azzal, hogy a és x ingázik:
a −1 xa = x ⇔ ax = xa .Így a nem azonos belső automorfizmusok megléte és száma a kommutativitás mértékeként szolgál egy csoportban.
Egy G csoport automorfizmusa akkor és csak akkor belső, ha bármely G -t tartalmazó csoportban kiterjesztve van [1] .
Az a −1 xa kifejezést gyakran x a hatványaként írják fel . Ezt a jelölést azért használjuk, mert az ( x a ) b = x ab szabály teljesül .
Bármilyen belső automorfizmus természetesen a G csoport automorfizmusa , azaz bijektív leképezés G- ről G -re . Ez is homomorfizmus , ami azt jelenti , hogy ( xy ) a = x a y a .
Két belső automorfizmus összetétele ismét egy belső automorfizmus (mint fentebb említettük - ( x a ) b = x ab ), és a G csoport összes belső automorfizmusának halmaza maga is egy csoport (a G csoport belső automorfizmusainak csoportja ) és az Inn( G ) jelölése .
Az Inn( G ) a G teljes Aut( G ) automorfizmuscsoportjának normál alcsoportja . A külső automorfizmus csoport Out( G ) a faktorcsoport
Out( G ) ≡ Aut( G )/Inn( G )A külső automorfizmusok csoportja bizonyos értelemben azt tükrözi, hogy G hány automorfizmusa belső. Bármely nem belső automorfizmus megadja az Out( G ) csoport nem triviális elemét , de a különböző nem belső automorfizmusok megadhatják az Out( G ) csoport ugyanazokat az elemeit .
Ha egy a ∈ G elemet f ( x ) = x a belső automorfizmussal társítunk az Inn( G ) csoportban a fentiek szerint, izomorfizmust kapunk a G /Z( G ) faktorcsoportok között (ahol Z( G ) a középpont G ) és a belső automorfizmusok csoportja:
G /Z( G ) = Inn( G ) .Ez az első izomorfizmus-tétel következménye , mivel Z( G ) pontosan G azon elemeinek halmaza, amelyek megadják az azonosságtérképet, amikor belső automorfizmus létrehozására használjuk (a konjugáció semmit sem változtat).
Wolfgang Gaschütz eredménye azt mondja, hogy ha egy G csoport véges és nem Abeli p -csoport , akkor G -nek van egy p - rendű automorfizmusa bizonyos mértékig, ami nem belső.
Nyitott probléma, hogy van-e bármely nem-abeli p - csoportnak p - rendű automorfizmusa . A kérdésre akkor van pozitív válasz, ha G teljesíti az alábbi feltételek egyikét:
Az Inn( G ) belső automorfizmusok csoportja akkor és csak akkor triviális (vagyis csak egy semleges elemből áll ), ha a G csoport Abel-féle .
Könnyen kimutatható, hogy az Inn( G ) csak akkor lehet ciklikus csoport , ha triviális.
A belső automorfizmusok alkothatják a teljes automorfizmuscsoportot. Egy olyan csoportot, amelynek minden automorfizmusa belső, és amelynek középpontja triviális, teljesnek nevezzük . Ez minden n elemű szimmetrikus csoportra érvényes, ha n nem egyenlő 2-vel vagy 6-tal. Ha n = 6 , akkor a szimmetrikus csoportnak van egy egyedi, nem triviális külső automorfizmus osztálya, és n = 2 esetén a szimmetrikus csoport, bár nincs benne külső automorfizmusok, Abel-féle, ami nem triviális középpontot ad, és ezért a csoport nem lehet teljes.
Legyen a G csoport egybeeső a származtatott alcsoportjával (angol terminológiában a tökéletes csoport ). Ha az Inn( G ) belső automorfizmusainak csoportja egyszerű , akkor egy ilyen G csoportot kvázi egyszerűnek nevezünk .
Adott egy R gyűrű és egy u egység az R -ből, az f ( x ) = u −1 xu leképezés az R gyűrű automorfizmusa . Az ilyen típusú gyűrű automorfizmusait az R gyűrű belső automorfizmusainak nevezzük . Ezek az automorfizmusok az R gyűrű automorfizmuscsoportjának normális alcsoportját alkotják.
A Lie algebra automorfizmust 𝔊 belső automorfizmusnak nevezzük, ha Ad g alakja van , ahol Ad a konjugált térképe , és g a Lie csoport olyan eleme , amelynek algebra egyenlő 𝔊 -val . A Lie-algebrák belső automorfizmusának jelölése kompatibilis a csoportok jelölésével abban az értelemben, hogy egy Lie-csoport belső automorfizmusa a megfelelő Lie-algebra egyedi belső automorfizmusát hozza létre.