Gyors-lassú rendszer

A matematikában a gyors-lassú rendszer egy dinamikus rendszer , amelyben különböző időskálán zajlanak le folyamatok. Egy ilyen rendszer fázisváltozói két osztályra oszthatók: "gyors" és "lassú" változókra. A "gyors" változók változási sebessége a fázistér szinte minden pontján sokkal nagyobb, mint a "lassú" változóké. Az ilyen rendszerek pályái lassú "sodródás" és gyors "törések" váltakozó szakaszaiból állnak. A gyors-lassú rendszerek különféle fizikai és egyéb jelenségeket írnak le, amelyekben a fokozatos evolúcióa kis változások időbeli felhalmozódása a rendszer hirtelen átmenetéhez vezet egy új dinamikus rezsim felé. [egy]

Kapcsolódó kifejezések: szingulárisan perturbált rendszer , relaxációs oszcillációk , dinamikus bifurkációk .

Formális definíció és alapfogalmak

Tekintsük a közönséges differenciálegyenlet-rendszerek családját

${\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon )\\{\pont {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon ),\end {cases}}\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{m},\ \varepsilon \in (\mathbb {R} ,0)$

Ha f és g simán függenek argumentumaiktól, és egy kis paraméter , akkor az így írt családról azt mondjuk, hogy egy gyors-lassú rendszert határoz meg. Az x változót gyors változónak, az y -t lassú változónak nevezzük. A gyors-lassú rendszerek elmélete az ilyen típusú rendszerek aszimptotikus viselkedését vizsgálja . $\varepsilon$ $\varepszilon\ 0-ra$

A lassú görbe egy f függvény nullák halmaza: . Amikor a rendszert "gyorsnak" nevezik: az y változó egy rögzített paraméter. A lassú görbe a gyors rendszer fix pontjaiból áll, így annak invariáns sokasága . Kicsi esetén a gyors-lassú rendszer egy kis zavarása a gyorsnak: bármely rögzített környéken kívül a változó változási sebessége tetszőlegesen meghaladja a változó változási sebességét . Geometriai szempontból ez azt jelenti, hogy a lassú görbe környezetén kívül a rendszer pályái gyakorlatilag párhuzamosak a gyors mozgás tengelyével . (Az illusztrációkon hagyományosan függőlegesen ábrázolják, lásd az ábrát.) ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $\varepsilon=0$ $\varepsilon \neq 0$ $M$ $x$ $y$ $x$

A lassú görbe egy kis részen kicsi, és egyedileg a gyors mozgás iránya mentén vetített szakasza esetén a rendszer megtartja a változatlan elosztót , amely közel van a lassú görbe . Ezt az invariáns sokaságot valódi lassú görbének nevezzük . Létezése levezethető Fenichel tételéből , vagy a középső sokaságok elméletéből . Nem egyedi módon van megadva, de minden ilyen invariáns sokaság exponenciálisan közel van (vagyis a köztük lévő távolság becslése ). $\varepsilon$ $O(\varepsilon )$ $M$ $O(\exp -C/|\varepsilon |)$

A gyors rendszer vektorterének a gyors mozgás iránya mentén a lassú görbére vetítését lassú térnek , az e mező által adott és a lassú görbén meghatározott egyenletet pedig lassú egyenletnek nevezzük . A perturbált rendszer (at ) dinamikáját a valódi lassú görbén a lassú egyenlet közelíti meg pontossággal . $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

Vegyes rendszer

A gyors-lassú rendszerek elemzéséhez gyakran érdemes az úgynevezett vegyes rendszert figyelembe venni . Feltételezzük, hogy a lassú görbén a dinamikát a lassú egyenlet adja, a lassú görbén kívül pedig a gyors rendszer. Egy ilyen rendszer „pályája” (az ún. „szinguláris pálya”) egy darabonként sima görbe, amely a lassú görbe stabil részének váltakozó íveiből és gyors törésekből áll.

A gyors-lassú rendszerekben a síkon (vagyis amikor a gyors és lassú változók egydimenziósak) bizonyos nem-degenerációs feltételek mellett a vegyes rendszer szinguláris pályái lehetővé teszik a gyors- lassú rendszer kicsiknek : az „igazi” pálya az egyes szám szomszédságában halad át. Dinamikája a lassú "sodródás" váltakozó fázisaiból áll a lassú ív stabil szakaszai közelében, és a gyors "törésekből" a gyors mozgás pályái mentén. $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

A "lassú" mozgás során a pálya fix távolságot tesz meg egy nagyságrendű idő alatt , miközben exponenciálisan vonzódik a megfelelő valódi lassú görbéhez (és más pályákhoz). $O(1/\varepsilon )$

Relaxációs ciklusok

Tekintsük a következő gyors-lassú rendszert, amely a Van der Pol oszcillátorhoz kapcsolódik :

${\begin{cases}{\dot {x}}&=-y+xx^{3};\\{\pont {y}}&=\varepsilon x.\end{cases}}$

Lassú görbéje egy köbös parabola . (Lásd. ábra) Vegyes rendszert tekintve könnyen megszerkeszthető a , , , pontokon áthaladó ún. "szinguláris ciklus" . Vegye figyelembe, hogy a ciklus annak a ténynek köszönhető, hogy a lassú mező a grafikon tetején jobbra, alul balra irányul; sőt a lassú görbe instabil részén a lassú rendszernek fix pontja van. $y=xx^{3}$ $G_{1}$ $F_{2}$ $G_{2}$ $F_{1}$

Közel ehhez az egyedülálló ciklushoz a gyors-lassú rendszernek van egy "igazi" stabil határciklusa. Valójában a szegmenshez közeli valódi lassú görbe közvetlen időben folytatódik az elakadási ponton túl , lebomlik, eléri a lassú görbe alsó részének a környékét, majd balra mozog a szegmensnek megfelelő valódi lassú görbe közelében , és egy felfelé áll, és ismét az ív közelébe esik . A pályák exponenciális konvergenciájának hatására lassú görbe stabil szakaszai közelében mozogva (lásd az előző rész végét), a Poincaré-térkép a keresztirányútól önmagáig (lásd az ábrát) egy összehúzódási térkép , és ezért van egy fix pont . Ez azt jelenti, hogy a rendszernek van határciklusa. Egy ilyen rendszerről azt mondják, hogy relaxációs oszcillációkat is tapasztal . $\varepsilon >0$ $F_{1}G_{1}$ $G_{1}$ $F_{2}G_{2}$ $F_{1}G_{1}$ $J$

Történelmi áttekintés

Relaxációs rezgések

A relaxációs oszcillációkat először a rádiótechnikában fedezték fel . A két ellenállást , egy kapacitást , egy induktivitást és egy tetródát tartalmazó áramkör oszcillációinak leírására B. Van der Pol a XX. század 20-as éveinek végén [2] egy másodrendű közönséges differenciálegyenletet ( Van der Pol) javasolt. egyenlet ) , a paramétertől függően, amelyet -vel fogunk jelölni . A megadott paramétert a kontúrelemek paraméterein keresztül fejeztük ki. Az áramkör kis oszcillációinál közel voltak a harmonikushoz, de növekedésével karakterük megváltozott, és a paraméter nagy értékénél kétféle szakaszt kezdtek megkülönböztetni az oszcillációs folyamat dinamikájában: „lassú ” megváltozik és gyorsan „ugrik” egyik állapotból a másikba. Van der Pol azt javasolta, hogy az ilyen oszcillációkat relaxációs oszcillációnak nevezzék , és azt a hipotézist terjesztette elő, hogy esetén a megfelelő megoldások nem folytonosak. (E tekintetben a relaxációs oszcillációkat gyakran nem folytonosnak is nevezik .) $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu \to +\infty$

Hasonló hatásokat más fizikai rendszerekben is megfigyeltek. A különféle multivibrátor áramkörök elemzése során A. A. Andronov és A. A. Witt azt találta [1] , hogy néhány „parazita” paramétert (például a vezető ellenállását vagy öninduktivitását) hagyományosan figyelmen kívül hagyják viszonylagos kicsiségük miatt a modell felépítésénél. , jelentősen befolyásolhatja a rendszer viselkedését: például részt vesz a pozitív visszacsatolás kialakításában, és így kulcsszerepet játszik az önrezgések előfordulásában . Így elutasításuk nem megfelelő modellhez vezetett. Kezdetben a kis paraméterek befolyását vették figyelembe az L. I. Mandelstam által javasolt „ugró posztulátum” bevezetésével , amely szerint fizikai megfontolások alapján kijelentették, hogy egy bizonyos állapot elérése után a rendszer „azonnal” átmegy egy másikba. állapot. Az "ugró posztulátum" matematikai igazolását N. A. Zheleztsov és L. V. Rodygin [3] [4] szerezte meg , és olyan egyenletek figyelembe vételét követelte meg, amelyekben a "parazita" kis paraméter együttható a legmagasabb deriváltnál, és a benne foglaltság megnövekedett. az egyenlet sorrendje – vagy más szóval a megfelelő rendszer fázisterének dimenziója . Így az 1940-es évektől kezdve a különböző kutatók elkezdtek fontolóra venni a formarendszereket

\left\{{\begin{mátrix}\varepsilon x'&=&f(x,y,\varepsilon ),\\y'&=&g(x,y,\varepsilon ).\end{mátrix} }\jobb.

((*))

vagy egy másik időskálára váltás után : $t=\tau /\varepsilon$

{\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon ),\\{\pont {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon ),\ vége{esetek}}

((**))

ahol és általában többdimenziós koordináták lehetnek, és ez egy kis paraméter. A klasszikus van der Pol egyenletet a Liénard-transzformáció (jelen esetben ) segítségével egy hasonló alakú rendszerre redukáljuk . Az ilyen rendszereket a modern terminológiában "gyors-lassú"-nak nevezik: koordináta - gyors, - lassú. Érdekes a megoldások aszimptotikus viselkedése . $x$ $y$ $\varepsilon$ $\varepsilon \sim 1/\mu$ $x$ $y$ $\varepszilon\ 0-ra$

Gyors és lassú rendszerek

A (*) és (**) rendszerek fázisportréi fixen egybeesnek, de a korlátozó viselkedés a pontnál eltérő: a határértéket (*) lassú rendszernek nevezzük (a mozgást „lassú időben” határozza meg ), a határértéket pedig ( *) **) gyorsnak nevezzük . A gyors rendszer traktorai síkokban fekszenek , és a függvény nullák halmaza, az úgynevezett lassú felület , teljes egészében a gyors rendszer szinguláris (rögzített) pontjaiból áll (amelyek ezért nincsenek elszigeteltek). Ezzel szemben a lassú rendszer pályái teljes egészében a lassú felületen fekszenek. $\varepsilon \neq 0$ $\varepsilon \to 0$ $\tau$ $y={\mathrm {c} onst}$ ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $f$

Ezeknek a korlátozó rendszereknek a figyelembevétele lehetővé tette a „pillanatnyi ugrások” megjelenésének magyarázatát. A lassú rendszer annak a modellnek felel meg, amelynek felépítésénél a "parazita" kis paramétereket elvetették. Megfelelően írja le egy valós rendszer viselkedését kis méretű , de csak addig, amíg a mozgás a lassú felületi szegmensek közelében történik, amelyek a gyors rendszer stabil szinguláris pontjaiból állnak. Egy lassú rendszer pályája azonban egy ponton elérheti a vonzáskörzet határát. Ebben a pillanatban a valós rendszer pályája elakadhat : hagyja el a lassú felület környékét, és váltson lassított mozgásról gyors mozgásra, amelyet a gyors rendszer állít be. Ez a megfigyelt "ugrás" (lassú időskálán "azonnal" következik be, vagyis a pályának megszakadása van; gyors időskálán - nagyságrendű időben ), ami nem magyarázható a kicsi figyelmen kívül hagyásával. paramétereket. Ebben az esetben a pálya a gyors dinamikát követve ismét a lassú felület egy stabil szakaszára eshet, ami után a gyors mozgást ismét felváltja a lassú mozgás stb. $\varepsilon$ $\varepsilon \neq 0$ $\tau$ $O(1)$

Így lehetővé vált a gyors-lassú rendszerek megoldásainak viselkedésének leírása, figyelembe véve bennük a lassú rendszer által meghatározott, a lassú felület stabil szakaszai mentén a lassú mozgás váltakozó fázisait, valamint a gyors rendszer pályái mentén elálló leállásokat. Ha a gyors és lassú koordináták egydimenziósak (vagyis a gyors-lassú rendszereket a síkon vesszük figyelembe), akkor ezt a leírást egy tipikus rendszer tipikus pályája kielégíti. A gyors és lassú mozgások szakaszain áthaladó zárt pálya egy relaxációs ciklus , amely a relaxációs oszcillációk megjelenéséért felelős.

Az ezen a területen végzett további kutatások elsősorban a rendszer valódi pályáinak különböző paraméterei (például a relaxációs oszcillációk periódusa) tekintetében aszimptotikumok feltárására irányultak . Jelentős nehézségeket okozott a dinamika elemzése a töréspontok környékén, ahol a gyorsról lassításra való átállás történik. Ezt a problémát L. S. Pontrjagin és E. F. Miscsenko oldotta meg az 1950-es évek végén [5] [6] . Fontos eredményeket értek el A. N. Tikhonov, A. B. Vasziljeva, L. Flatto, N. Levinson és mások [7] [8] . A Van der Pol egyenlet relaxációs oszcillációinak periódusára vonatkozó aszimptotikus sorozat első tagjait először A. A. Dorodnitsyn számolta ki [9] . J. Haag a 40-es években számos aszimptotikát talált a gyors-lassú rendszer általános esetére egy síkon [10] [11] . A Pontrjagin és Miscsenko által kidolgozott módszerek lehetővé tették, hogy a síkon tipikus gyors-lassú rendszerek megoldására komplett aszimptotikumokat kapjunk, amelyeket E. F. Miscsenko és N. Kh. Rozov klasszikussá váló monográfiájában [12] ír le. . $\varepsilon$ $\varepszilon\ 0-ra$

Feszítő kihajlás és kacsa

Kiderült azonban, hogy ez az egyszerű kvalitatív leírás nem meríti ki a gyors-lassú rendszerek összes lehetséges pályáját. Pontrjagin tehát a 70-es években felfedezte a stabilitásvesztés késleltetésének jelenségét : kiderült, hogy kétdimenziós gyors koordinátájú analitikai gyors-lassú rendszerekben a stabilitási határ átlépése után a pálya hosszú ideig a közelében maradhat. a lassú felület amúgy is instabil része (nulla távolságtól elválasztva végighaladva rajta), és csak ezután esik át törésen és váltson gyors mozgásra. Egy konkrét példán ezt a hatást M. A. Shishkova [13] 1973-ban Pontrjagin irányítása alatt végzett munkája tanulmányozta; az általános esetet A. I. Neishtadt [14] elemezte 1985-ben.

Hasonló hatást fedeztek fel J. Riba tanítványai (E. Benois, J. Callot, F. Diene, M. Diene) [15] [16] a 80-as évek elején gyors-lassú rendszerekben, egy gyors és egy lassú rendszerrel. változó. Egy további paraméterrel tanulmányozták egy relaxációs határciklus születését a Van der Pol rendszerben. Kiderült, hogy amikor ez a paraméter egy fixen áthalad egy exponenciálisan szűk (in ) intervallumon (vagyis egy sorrend hosszúságú intervallumon ), akkor az Andronov-Hopf bifurkáció eredményeként szinguláris pontból született határciklus többen áthalad. evolúció szakaszaiban, mielőtt felvenné a klasszikus relaxációs ciklus formáját. Ebben az esetben, mint kiderült, a paraméter köztes értékeinél a megfelelő határciklusok a lassú görbe instabil részének néhány íve közelében haladnak el. Az ilyen pályákat „kacsáknak” nevezték ( francia canard , ma már angol kacsa is használatos ) - részben az intuitív ellentétes hatás miatt, amelyet eleinte „újságkacsaként” fogtak fel, részben alakja miatt, homályosan repülő kacsára emlékeztetve. [7] [17] . Különféle kémiai, biológiai és egyéb modellekben találtak vetülékoldatot. [tizennyolc] $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\exp(-C/\varepsilon )$

Kezdetben a kacsaoldatokat nem szabványos elemzési módszerekkel tanulmányozták , de hamarosan alkalmazhatták rájuk az aszimptotikus sorozatok már klasszikus módszereit (W. Ekkauz [19] , E. F. Miscsenko, A. Yu. Kolesov, Yu. S. Kolesov, N. Kh Rozov [20] [21] ), később pedig a szingulárisan perturbált rendszerek geometriai elmélete (kidolgozta N. Fenichel [22] ) a felfújási módszerrel (F. Dumortier és R. Roussari [ 21]). 23] , M. Krupa és P. Smolyan [24] ). Kiderült, hogy a kacsa megoldások "ritka" jelenségek a síkrendszerekben. A numerikus kísérlet során kimutatható vonzási vetülékciklusok csak egy további paraméter jelenlétében jelennek meg, és ennek a paraméternek a „vetülék” értékeinek halmaza egy fix értékhez exponenciálisan szűk. . $\varepsilon$ $\varepsilon$

2001-ben Yu. S. Ilyashenko és J. Guckenheimer [25] egy alapvetően új viselkedést fedezett fel a gyors-lassú rendszerek számára egy kétdimenziós tóruszon. Kimutatták, hogy bizonyos rendszercsaládok esetében további paraméterek hiányában tetszőlegesen kis érték esetén a rendszernek lehet stabil kacsaciklusa. Ezt követően I. V. Shchurov kimutatta [26] , hogy hasonló jelenség tipikus módon is megfigyelhető - a gyors-lassú rendszerek néhány nyílt halmazában. $\varepsilon$

Irodalom

V. I. Arnold, V. S. Afraimovics, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Silnikov. Bifurkációk elmélete // Dinamikus rendszerek-5. A tudomány és a technológia eredményei. A matematika modern problémái. alapvető irányok. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
DV Anosov A dinamikus rendszerek elméletének fejlődéséről az elmúlt negyedszázadban, A szinguláris perturbációk elmélete című fejezet .

Jegyzetek

↑ 1 2 Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. A rezgések elmélete. — 2. kiadás. - 1959. - S. 727-855. — 914 p.
↑ van der Pol, B. , A relaxáció-oszcillációkról, The London, Edinburgh és Dublin Phil. Mag. és J. of Sci., 2 , 7 (1927), 978-992
↑ Zheleztsov N. A., Rodygin L. V. A szimmetrikus multivibrátor elméletéről. — Dokl. AN SSSR, 81 :3 (1951), 391-392.
↑ N. A. Zheleztsov , A nem folytonos rezgések elméletéről másodrendű rendszerekben. Izv. felsőoktatási intézmények. Radiophysics 1 , 1 (1958), 67-78.
↑ L. S. Pontryagin , Kis paraméterű differenciálegyenletrendszerek megoldásainak aszimptotikus viselkedése magasabb deriváltoknál, Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat. 21 , 5 (1957), 605-626
↑ E. F. Mishchenko, L. S. Pontryagin , Néhány aszimptotikus becslés származtatása differenciálegyenletek megoldására kis paraméterrel a deriváltoknál, Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat. 23 , 5 (1959), 643-660
↑ 1 2 V. I. Arnold, V. S. Afraimovics, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Silnikov. Dinamikus rendszerek - 5. VINITI, A matematika modern problémái. alapvető irányok. 5 , 1986.
↑ lásd V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Silnikov idézett műveit. Dinamikus rendszerek - 5. VINITI, A matematika modern problémái. alapvető irányok. 5 , 1986 és E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Differenciálegyenletek kis paraméterrel és relaxációs oszcillációkkal, Moszkva, Nauka, 1975.
↑ A. A. Dorodnitsyn , A Van der Pol egyenlet aszimptotikus megoldása, Prikl. matematika. i Mekhan., 11 :3 (1947), 313-328
↑ Haag J. Etude asymptotique des oscillations de relaxation. Ann. sci. Ecole Standard. Sup. 60 (1943).
↑ Haag J. Concrets d'etude asymptotique d'oscillations de relaxation. Ann. sci. Ecole Standard. Sup. 61 (1944).
↑ E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Differenciálegyenletek kis paraméterrel és relaxációs oszcillációkkal, Moszkva, Nauka, 1975.
↑ M. A. Shishkova, Kis paraméterű differenciálegyenletrendszer figyelembevétele magasabb deriváltoknál, Dokl. AN SSSR, 1973, 209 :3, 576-579.
↑ Neishtadt A. I. Az egyensúlyi stabilitás elvesztésének aszimptotikus vizsgálata a képzeletbeli tengelyen lassan áthaladó sajátérték-párral. Sok sikert mat. Nauk, 1985, 40 :5, 190-191
↑ E. Benoit, J. F. Callot, F. Diener, M. Diener . Chasse au canard. Collectanea Mathematica, 31-32 (1981), 37-119.
↑ M. Diener , The canard unchained or how fast/low dynamical systems bifurcate, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 38-48.
↑ Martin Wechselberger , Canards archiválva : 2019. február 9., a Wayback Machine , Scholarpedia, 2(4):1356 (2007),
↑ (Lásd pl. J. Moehlis , Canards in a Surface Oxidation Reaction. J. of Nonlinear Sci. 12 :4, 319-345 és az ott hivatkozott munkákat.
↑ W. Eckhaus , Relaxációs oszcillációk, beleértve a francia kacsák szokásos üldözését, az Asimptotikus elemzés II. részében, Springer előadásjegyzetek, matematika. 985 (1983), 449-494.
↑ A. Yu. Koleszov, E. F. Miscsenko. Pontrjagin vontatási jelensége és többdimenziós relaxációs rendszerek stabil kacsaciklusai egyetlen lassú változóval. Mathematical Collection, 181 :5 (1990), 579-588.
↑ Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Periodikus mozgások és bifurkációs folyamatok szingulárisan perturbált rendszerekben. Moszkva, "Fizikai-matematikai irodalom", 1995
↑ N. Fenichel , Geometriai szinguláris perturbáció elmélet közönséges differenciálegyenletekhez, J. of Diff. Eq., 31 (1979), pp. 53-98.
↑ F. Dumortier és R. Roussarie , Canard ciklusok és középső elosztók, Mem. amer. Math. Soc. 121 , 577 (1996)].
↑ M. Krupa, P. Szmolyan , A geometriai szinguláris perturbáció elméletének kiterjesztése nem-hiperbolikus pontokra — hajtás- és kanárpontok két dimenzióban, SIAM J. Math. Anal., 33 :2, 286-314.
↑ J. Guckenheimer, Yu. S. Ilyashenko , A kacsa és az ördög: Canards a lépcsőn, Moszkva matek. J. , 1 :1, (2001), 27-47.
↑ IV Schurov, Kacsák a tóruszon: létezés és egyediség (nem elérhető link) , Journal of dynamical and control systems , 16 :2 (2010), 267-300.