Egyenlet kis paraméterrel

A kis paraméterű egyenlet egy skaláris vagy vektoros differenciálegyenlet , amelyben van egy együttható , amely másokhoz képest kicsi. Ez a paraméter lehet a differenciálegyenlet jobb oldalán, és az egyenlet szabályos perturbációjáról beszélünk. Ezenkívül egy kis paraméter állhat a legmagasabb deriválton, ebben az esetben szinguláris perturbációról beszélünk.

Rendszeresen zavart Cauchy probléma (kezdeti probléma):

{\begin{cases}{\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )=y^ {0}\end{cases}}

adott feltételek mellett a jobb oldalon megoldása létezik, egyedi, ráadásul folyamatosan függ a kis paramétertől . $\varepsilon$

Kis paraméterű egyenletek megoldására a matematikai fizikában speciális módszereket alkalmaznak. Ennek oka a különféle hatások jelenléte, beleértve a határréteg-effektust is .

Néha egy kis paraméterű egyenletet olyan egyenletnek is kell érteni, amelyben egy kis paraméter a természetes peremfeltétel normál deriváltján áll.

Az alkalmazásokban gyakran vannak olyan problémák, amelyekben egy kis paraméter a legmagasabb deriválton van, például:

{\begin{cases}\varepsilon {\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )= y^{0}\end{cases}}

Az ilyen problémát általában egyedileg zavartnak nevezik. Ha egy kis paramétert formálisan nullával egyenlőnek állítunk be, akkor a rendszer első egyenlete megszűnik differenciális. Emiatt előfordulhat, hogy az egyenlet megoldása nem felel meg a kezdeti értéknek . Ilyen problémáknál figyelhető meg a határréteg hatás. A jobb oldali szomszédság közelében lévő megoldás éles változáson megy keresztül. Ezt a régiót nagy gradiensek jellemzik, és gyakran határréteg-régiónak nevezik. Az ilyen rendszerek megoldására aszimptotikus módszereket alkalmaznak. Közülük a leghíresebb a Tyihonov -módszer és a Vasziljeva-módszer . $0=f(y,t,0)$ $y^{0}$ $t=0$

Irodalom

Differenciálegyenletek kis paraméterrel a deriváltoknál - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . A. V. Vasziljeva