Van der Pol oszcillátor

A Van der Pol oszcillátor egy nemlineárisan csillapított oszcillátor, amely megfelel az egyenletnek

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0

, ahol

x

a pont koordinátája , az időtől függően ;

t

\mu

a rezgések nemlinearitását és csillapító erejét jellemző együttható .

Történelem

A Van der Pol oszcillátort Balthasar van der Pol holland mérnök és fizikus javasolta a Philipsnél . [1] Van der Pol stabil oszcillációkat talált, amelyeket relaxációs oszcillációknak, [ 2] "határciklusoknak" neveznek , és amelyek mindig közel vannak a hullámok természetes frekvenciájához. Ez volt a determinisztikus káosz egyik első megfigyelése . [négy]

A Van der Pol egyenletet a fizikában és a biológiában egyaránt használják . Így például a biológiában megalkották a Fitz Hugh-Nagumo modellt , amelyet a szeizmológiában is alkalmaztak a geológiai hibák modellezésére . [5]

Kétdimenziós eset

Liénard tételével igazolható, hogy a rendszernek van határciklusa. Ebből a tételből az következik, hogy . Ebből származtathatjuk [6] a van der Pol oszcillátor egyenleteket a kétdimenziós esetre: $y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\ \{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{aligned}}\jobbra.

Azt is, hogy egy másik csere , és kap $y={\frac {dx}{dt))$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})yx\ vége{igazított}}\jobbra.

Oszcillátor szabad rezgésekkel

A Van der Pol oszcillátornak két érdekes módja van: at és at . Nyilvánvaló, hogy a harmadik mód - - nem létezik, mivel a rendszerben a csillapítás nem lehet negatív. $\mu=0$ $\mu>0$ $\mu<0$

1) Amikor , azaz az oszcillátort csillapítás nélkül számítjuk ki, akkor a fenti egyenleteket a következő alakra alakítjuk

\mu=0

{d^{2}x \over dt^{2}}+x=0

. Ez a harmonikus oszcillátor egyenlete . 2) A rendszernek bizonyos határciklusai vannak. Minél távolabb van a nullától, az oszcillátor rezgései annál kevésbé hasonlítanak a harmonikusokhoz.

\mu>0

\mu

Kényszerrezgések

A Van der Pol oszcillátor kényszerrezgéseit energiaveszteséggel és anélkül is a következő képlettel számítjuk ki

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=A\sin(\omega t)

, ahol

A

a külső harmonikus jel amplitúdója,

\omega

a szögfrekvenciája.

Jegyzetek

↑ Cartwright, ML, "Balthazar van der Pol" Archiválva : 2019. október 18., a Wayback Machine , J. London Math. szoc. 35 , 367-376 (1960).
↑ Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci. , 2 (7), 978-992 (1927).
↑ Van der Pol, B. és Van der Mark, J., "Frequency demultiplication", Nature , 120 , 363-364, (1927).
↑ Kanamaru, T., "Van der Pol oscillator" Archiválva : 2009. július 9., a Wayback Machine , Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. és Piro, O., "Dynamics of elastic excitable media", Internat. J. Bifur. ChaosAppl. sci. Engrg. , 9 , 2197-2202 (1999).
↑ Kaplan, D. és Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics , Springer, 240-244, (1995)

Lásd még

Linkek

Példák egy oszcillátor fázisportréira .