Abszolút Galois csoport

A mező abszolút Galois csoportja az over Galois csoport , ahol az elválasztható lezárása van . Úgy is definiálható, mint a mozgatatlanul hagyott mező algebrai zárásának összes automorfizmusának csoportja . Az abszolút Galois-csoport az izomorfizmusig egyedülálló. Ez egy proterminális csoport . $G_K$ $K$ $K^{szept.}$ $K$ $K^{szept.}$ $K$ $K$ $K$

(Ha tökéletes mező , egybeesik a mező algebrai lezárásával . Ez például igaz a karakterisztikus 0 és véges mezőkre .) $K$ $K^{szept.}$ $K^{alg}$ $K$

Példák

Az algebrailag zárt mező abszolút Galois-csoportja triviális.
A valós számok abszolút Galois-csoportja egy két elemből álló ciklikus csoport (komplex konjugáció és azonosságleképezés), mivel egy elválasztható lezárás és . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$
Egy véges mező abszolút Galois-csoportja izomorf a csoporttal . Itt a projektív határértéke . $K$ $\hat{\mathbb{Z}} = \varprojlim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$ $\varprojlim$

A Frobenius-automorfizmus a kanonikus (topológiai) generátor ( , ahol a -ben lévő elemek száma ).

Fr

G_K

Fr(x) = x^q

q

K

A komplex együtthatós racionális függvények területének abszolút Galois-csoportja egy szabad profinit csoport [1] .
Általánosabban: legyen algebrailag zárt mező és változó. Ekkor egy mező abszolút Galois-csoportja a számossággal egyenlő rangú szabad csoport [2] [3] [4] . $C$ $x$ $K = C(x)$ $C$
Legyen p-adikus számok véges kiterjesztése . A számára az abszolút Galois-csoportot elemek generálják, és kifejezett leírása van a generátorok és relációk szempontjából. $K$ $Q_p$ $p \neq 2$ $[K:Q_p]+3$
Az abszolút Galois-csoport az algebrai számok területének legnagyobb tisztán valós részmezejére van definiálva.

Nyitott kérdések

A racionális számok abszolút Galois-csoportjának explicit leírása nem ismert . Ebben az esetben Belyi tételéből az következik, hogy az abszolút Galois-csoport hatékonyan hat a Grothendieck -féle dessins d'enfants -re , ami lehetővé teszi az algebrai számmezők Galois-elméletének megjelenítését .
Shafarevich sejtése szerint a racionális számok maximális Abeli-féle kiterjesztésének abszolút Galois-csoportja szabad profinit csoport.

Jegyzetek

↑ Adrien Douady. Determination d'un groupe de Galois (francia) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. - 1964. - 1. évf. 258. - P. 5305-5308. , MR : 0162796
↑ David Harbater. Alapvető csoportok és beágyazási problémák jellemző p -be (angol) // American Mathematical Society . - 1995. - 1. évf. 186.—P. 353–369.
↑ Dan Haran, Moshe Jarden. A C abszolút Galois-csoportja ( x ) // Pacific Journal of Mathematics: folyóirat. - 2000. - Vol. 196. sz . 2 . - P. 445-459. doi : 10.2140 / pjm.2000.196.445 .
↑ Florian Pop. Az Étale Galois affin sima ívek borítói. Shafarevich sejtésének geometriai esete. Abhyankar sejtéséről (angol) // Inventiones Mathematicae . - 1995. - 1. évf. 120, sz. 3 . - P. 555-578. - doi : 10.1007/bf01241142 .