Jellemzés (algebra)

A karakterisztika az általános algebrában a gyűrűk vagy mezők bizonyos tulajdonságainak leírására használt numerikus érték .

Egy gyűrű esetében a karakterisztika az a legkisebb egész szám , amelyre minden elemre érvényes az egyenlőség: $R$ ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R$ $n>0$ $r\in R$

n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r}_{n}=0

és ha ilyen szám nem létezik, akkor . ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R=0$

Ha a gyűrűben van egység , akkor a karakterisztikát úgy definiálhatjuk, mint a legkisebb nullától eltérő természetes számot , amelyre , de ha nincs ilyen szám, akkor a karakterisztika nullával egyenlő. $R$ $n$ $n\cdot 1=0$ $n$

Az egész számok gyűrűjének jellemzői, a racionális számok mezője , a valós számok mezője , a komplex számok mezője nullával egyenlő. A maradékgyűrű jellemzője :. A véges mező karakterisztikája , ahol egy prímszám, pozitív egész szám, egyenlő a . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $n$ ${\mathbb {F}}_{{p^{m}}}$ $p$ $m$ $p$

Az egyetlen elemből álló triviális gyűrű az egyetlen karakterisztikával rendelkező gyűrű . $0=1$ $egy$

Ha egy nem triviális gyűrű, amelynek egysége és nincs nulla osztója , pozitív karakterisztikával rendelkezik , akkor ez prímszám. Ezért bármely mező jellemzője vagy , vagy prímszám . Az első esetben a mező almezőként a racionális számok mezőjével izomorf mezőt tartalmaz , a második esetben a mező almezőként a maradékok mezőjével izomorf mezőt tartalmaz . Ezt az almezőt mindkét esetben egyszerű mezőnek nevezzük (amelyet tartalmaz ). $n$ $K$ $0$ $p$ $K$ $\mathbb {Q}$ $K$ $\mathbb {F} _{p}$ $K$

Egy véges mező karakterisztikája mindig pozitív, de az, hogy egy mező karakterisztikája pozitív, nem jelenti azt, hogy a mező véges. Ellenpéldaként említhetjük a racionális függvények mezőjét in együtthatókkal és a mező algebrai lezárását . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$

Ha prímkarakterisztika kommutatív gyűrűje , akkor mindenre , . Az ilyen gyűrűkre Frobenius endomorfizmust definiálhatunk . $R$ $p$ $(a+b)^{{p^{n}}}=a^{{p^{n}}}+b^{{p^{n}}}$ $a, b\in R$ $n\in \mathbb {N}$

Irodalom

Lidl R., Niederreiter G. Véges mezők: 2 kötetben T. 1. Per. angolról. — M.: Mir, 1988.
Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. - M.: Nauka, 1977.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra: Tankönyv. 2 kötetben T. 2. - M .: Helios ARV, 2003.