Fókusz - a geometriában, egy pont, amelyhez (amelyhez) képest bizonyos görbék vannak megszerkesztve . Például egy vagy két gócot használhatunk kúpszelvények készítéséhez , amelyek magukban foglalják a kört , az ellipszist , a parabolát és a hiperbolát . Ezenkívül két trükköt alkalmaznak a Cassini - ovál és a Descartes-ovál felépítésében . Az n-ellipszis meghatározásakor több fókuszt is figyelembe veszünk .
Az ellipszist úgy határozhatjuk meg, mint azon pontok lokuszát, amelyeknél a két fókusz távolságának összege állandó.
A kör egy olyan ellipszis speciális esete, amelynek két fókuszpontja van. Ezért a kör olyan pontok helyeként definiálható, amelyek mindegyike azonos távolságra van egyetlen fókusztól. A kört úgy is definiálhatjuk, mint Apollonius körét, ahol két gócot használunk olyan pontok halmazaként, amelyek távolságának aránya azonos két góccal.
A parabola az ellipszis extrém esete, amelyben az egyik góc a végtelenben lévő pont .
A hiperbola olyan pontok halmazaként definiálható, amelyeknél a két fókusz távolságának különbségének modulusa állandó.
Az összes kúpszelvény egy fókusszal és egy irányítóval is meghatározható, ami egy egyenes, amely nem tartalmazza a fókuszt. A kúpmetszet azon pontok helyeként definiálható, amelyeknél a fókusz távolságának és a direktrix távolságának aránya egy rögzített pozitív érték, amelyet excentricitásnak nevezünk e . Ha e 0 és 1 közötti tartományban van, akkor a kúpszelet ellipszis, ha e = 1 - parabola, ha e > 1 - hiperbola. Ha a fókusz távolsága rögzített, és az irányvonal egy egyenes a végtelenben, akkor az excentricitás nulla, a kúp pedig egy kör.
A kúpszelvények olyan pontok helyeként is meghatározhatók, amelyek egyenlő távolságra vannak egyetlen fókusztól a vezetőkörig. Ellipszis esetén a kör fókuszának és középpontjának véges koordinátái vannak, míg a vezetőkör sugara nagyobb, mint a kör középpontja és a fókusz közötti távolság. Ezért a fókusz a vezetőkörön belül van. Így a kapott ellipszisben a második fókusz a vezetőkör közepén helyezkedik el, és a teljes ellipszis a körön belül van.
Parabola esetén a vezetőkör középpontja a végtelenben lévő pontba tolódik el. Ekkor a kör nulla görbületű görbévé válik, amely megkülönböztethetetlen az egyenestől. A parabola két ága a végtelenbe távolodva egyre közelebb kerül a párhuzamos egyenesekhez.
Hiperbola készítésekor a vezetőkör sugarát úgy választjuk meg, hogy kisebb legyen, mint a kör középpontja és a fókusz közötti távolság. Ezért a fókusz a vezetőkörön kívül van. A hiperbola ágai megközelítik az aszimptotákat, a hiperbola bal ága a végtelenben lévő pontokon „találkozik” a jobb ággal. Így a projektív geometria keretein belül a hiperbola két ága egy végtelenbe zárt görbe fele.
A projektív geometriában minden kúpmetszet ekvivalens abban az értelemben, hogy minden egyes szakaszra alkalmazható tétel más fajtákra is alkalmazható.
A gravitációs kéttest -probléma keretében két egymás körül mozgó test pályáját két kúpszelet írja le, amelyek metszik egymást, és közös fókuszuk a tömegközéppontban van .
Például a Plútó Charon holdjának elliptikus pályája van, és az egyik góc a Plútó-Charon rendszer baricentrumában található, a Plútó és a Charon közötti térben. A Plútó egy ellipszis mentén is mozog, amelynek egyik góca ebben a baricentrumban található. A Plútó elliptikus pályája teljes egészében Charon pályáján belül van.
Összehasonlításképpen: a Hold egy ellipszis mentén mozog, amelynek egyik góca a Föld-Hold rendszernek a Föld felszíne alatti baricentrumában található, miközben a Föld középpontja is a baricentrum körüli pályán mozog. A baricentrum és a Föld középpontja közötti távolság körülbelül a Föld sugarának 3/4-e.
Önmagában a Plútó-Charon rendszer egy ellipszisben mozog a Nappal a baricentruma körül, akárcsak a Föld-Hold rendszer. A baricentrum mindkét esetben mélyen a Nap felszíne alatt helyezkedik el.
A kettőscsillagok is ellipszisben keringenek, amelyeknek egyik góca a rendszer tömegközéppontja.
A Descartes-ovál olyan pontok halmaza, amelyek mindegyikére a két adott fókusz távolságának súlyozott összege állandó. Ha a súlyok egyenlőek, a görbe ellipszis.
A Cassini-ovál olyan pontok halmaza, amelyek mindegyikére két adott góc távolságának szorzata állandó.
Az n-ellipszis olyan pontok halmaza, amelyek távolsága n fókuszponttól azonos. n =2 esetén az n-ellipszis egy közönséges ellipszis.
A fókusz fogalma tetszőleges algebrai görbékre általánosítható. Legyen C egy m osztályú görbe , és jelölje I és J kör alakú pontokat a végtelenben. Rajzoljunk m érintőt C -hez az I és J pontokon keresztül . Most két m egyenes halmaza van , amelyeknek m 2 metszéspontja van (bizonyos esetekben vannak kivételek). Az ilyen metszéspontokat a C görbe fókuszpontjainak tekinthetjük . Más szavakkal, egy P pont fókusz, ha PI és PJ érinti a C -t . Ha C egy valós görbe, akkor m valós és m 2 − m képzetes fókusz van . Ha C kúpmetszet, akkor az érintők felépítésénél kapott gócok ugyanazok, mint a kúpszeletek geometriai felépítésénél.