Csonkolás (geometria)

A csonka négyzet szabályos nyolcszög: t{4} = {8} =

Csonka kocka t{4,3} ill

Csonka köbös méhsejt t{4,3,4} ill

A csonkítás egy tetszőleges méretű térben végzett művelet, amely egy poliéder  csúcsait levágja, és a csúcsok helyére új lapokat alakítanak ki. A kifejezés az arkhimédeszi szilárdtestek Kepler által adott nevéből származik .

Egységes vágás

Általánosságban elmondható, hogy bármely politóp csonkolható bizonyos fokú szabadsággal a csonkítás mélységének megválasztásában, amint azt a Conway's Notation for Polytopes című cikk mutatja .

A csonkítás egyik általánosan használt típusa az egységes csonkítás , amelyben a csonkítási műveletet egy szabályos poliéderre alkalmazzák, és egy egyenletes poliédert eredményez egyenlő élhosszúsággal. Ebben az esetben nincs választási szabadság, és ennek eredményeként a szabályos poliéderekhez hasonlóan jól meghatározott geometriai testeket kapunk.

Általános esetben minden egységes poliédernek egy körvonalazott csomópontja van (a Coxeter-Dynkin diagramban) egységes csonkolással. Például az ikozidodekaéder , amelyet az r{5,3} vagy Schläfli-szimbólum jelképez, és amely Coxeter-Dynkin diagramokkal rendelkezik vagy, egységes csonkolása van – rombusz alakú csonka ikozidodekaéder , tr{5,3} vagy ,. A Coxeter-Dynkin diagramban a csonkítási hatás abban nyilvánul meg, hogy a körökkel szomszédos összes csomóponton körök jelennek meg.

Sokszögek csonkítása

A csonka n oldalú sokszögnek 2n oldala lesz. Egy egyenletesen csonkolt szabályos sokszögből egy másik szabályos sokszög lesz: t{n} = {2n}. A teljes csonkítás , r{3}, egy másik szabályos sokszög, kettős az eredetivel.

A szabályos sokszögek a Coxeter-Dynkin diagrammal is ábrázolhatók ,, és annak egységes csonkolása lesz diagrammal, teljes csonkítása pedig egy diagram. Grafikonegy I 2 (n) Coxeter-csoportot képvisel , amelyben minden csomópont tükör, és minden él a tükrök közötti π/ n szöget jelenti , míg egy vagy két tükör körüli körök jelzik, hogy melyikük aktív.

{3}

t{3} = {6}

r{3} = {3}

A csillag sokszögek is csonkolhatók. A csonkolt pentagram ({5/2}) úgy fog kinézni, mint egy ötszög , de valójában egy kétszeresen fedett (elfajzott) tízszög ({10/2}), két, egymást átfedő csúcsokkal és oldalakkal. A csonka nagy heptagram (hétszögletű csillag) {7/3} egy tizennégyágú csillagot {14/3} ad.

Szabályos politópok és tesszellációk egységes csonkítása

Ha szabályos poliéderek csonkolásáról vagy szabályos sokszögek csonkításáról van szó , akkor általában az "egyenletes csonkolást" használják, ami annyit jelent, hogy az eredeti lapok szabályos sokszögekké válnak, kétszer annyi oldallal.

Az ábrán látható szekvencia egy kocka csonkolására mutat példát, négy lépést mutat be a folyamatos csonkolási folyamattól a teljes kockától a teljes csonkolókockáig . A végső test egy kuboktaéder .

A középső kép egységes csonka kocka . Ezt a Schläfli szimbólum t { p , q ,…} jelöli.

A mély csonkítás  egy erősebb csonkítás, amely eltávolítja az összes eredeti élt, de elhagyja az eredeti lapok belsejét. Példáulcsonka oktaéderegy mélyen csonka kocka: 2t{4,3}.

A teljes mély csonkolást birektifikációnak nevezzük, és az eredeti lapokat pontokká redukálja. Ebben az esetben a poliéder kettős poliéderré alakul . Például az oktaéder a kocka teljes mély csonkítása : {3,4} = 2r{4,3}.

A csonkítás egy másik típusa a teljes csonkítás , amely levágja az éleket és a csúcsokat, így élek helyett téglalapokat eredményez.

A magasabb dimenziójú poliédereknek más csonkítási szintjei is vannak - rangsorolás , ahol a lapok, élek és csúcsok le vannak vágva. Az 5 feletti méretekben van egy sterikáció , amely levágja a lapokat, éleket és csúcsokat, valamint a háromdimenziós lapokat.

Élcsonkítás

 Az élcsonkítás a poliéder letörése , mint a körcsonkolás esetében, de a csúcsok megmaradnak, és az éleket hatszögek váltják fel. Egy 4 dimenziós poliéderben az éleket megnyúlt bipiramisok helyettesítik .

Váltakozások vagy részleges csonkolások

A váltakozás vagy a részleges csonkítás csak az eredeti csúcsok egy részét távolítja el.

Részleges csonkolással vagy váltakozással a csúcsok és élek fele teljesen eltávolítódik. A művelet olyan poliéderekre alkalmazható, amelyek lapjainak páros számú oldala van. Az arcok kettévágják az oldalak számát, a négyzet alakú lapok pedig áthaladnak az éleken. Például a tetraéder a h{4,3} kocka váltakozása.

Derogation – a Johnson poliéderekre  használt általánosabb kifejezés, amely magában foglalja egy vagy több csúcs, él vagy lap eltávolítását anélkül, hogy a többi csúcsot érintené. Például egy háromszoros ikozaéder egy szabályos ikozaéderből származik három csúcs eltávolításával.

Más részleges csonkolások a szimmetrián alapulnak. Például a tetraéderesen redukált dodekaéder .

Általánosított csonkolások

A lineáris csonkítási folyamat általánosítható úgy, hogy a csonkítási paramétert negatívnak hagyjuk, vagy hagyjuk, hogy áthaladjon egy él felezőpontján, ami önmagát metsző csillagpoliédereket eredményez. Az ilyen poliéderek néhány szabályos csillagpoliéderhez és egyenletes csillagpoliéderhez köthetők .

• Kis csonkítás  - az élek mérete lecsökken, a lapok megduplázzák az oldalak számát, új lapok alakulnak ki a korábbi csúcsok helyén.
• Az egységes csonkítás  egy speciális eset, amikor az összes eredményül kapott él azonos hosszúságú. A t{4,3} csonka kockában a négyzetlapok nyolcszögekké alakulnak, és a csúcsok helyett háromszögek keletkeznek.
• Az anticsonkítás a sekély csonkítás fordítottja . Az eredmény egy poliéder, amely hasonló az eredetihez, de részei a sarkoknál lógnak, ahelyett, hogy levágnák a sarkokat.
• Teljes csonkítás  – a sekély csonkítás korlátozása, ahol az élek pontokká redukálódnak. Példa erre a Cuboctahedron , r{4,3}.
• A hipercsonkítás egy olyan csonkolási típus, amely túlmutat a teljes csonkításon az eredeti élek megfordításával, ami önmetszéseket eredményez.
• A kvázi -csonkítás egy olyan csonkolási típus, amely túlmutat a hipercsonkításon, ahol a fordított élek hosszabbak lesznek, mint az eredetiek. Ezt a csonkítást az eredeti poliéderből úgy kaphatjuk meg, hogy az élekről lapokat húzunk vissza, vagyis a csúcstól ellenkező irányban mozgunk. Például egy négyzet kvázi csonkolása szabályos oktagramot ad (t{4,3}={8/3}), a kocka kvázi csonkolása pedig egyenletes csillagozott csonka hexaédert , t{4/3 ,3}.

Lásd még

• Egységes poliéder
• Egységes négydimenziós poliéder
• Kettős csonkítás (geometria)
• teljes csonka
• Változás (geometria)
• Conway-jelölés a poliéderekhez

Jegyzetek

Irodalom

• HS M Coxeter . 8. fejezet: Transzation //Rendszeres politópok . — 3. kiadás. - New York: Dover Publications Inc, 1973. - P.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Norman Johnson . Egységes politópok. Kézirat, 1991.
• Norman Johnson . Az egységes politópok és méhsejt elmélete. — Torontói Egyetem: Ph.D. disszertáció, 1966.

Linkek

• Weisstein, Eric W. Truncation  (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
• Szószedet a Hipertérhez
• Poliéderek Nevek, csonkítás

Az alapítás	csonkítás	teljes csonka	Mély csonkítás	Kettősség _	nyújtás	Csonkolás	Alternatív
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}