Schwinger egyenletek

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Schwinger-egyenletek egy egyenletrendszer , amely a kvantumtérelméletben a Green-függvényekre vonatkozik . Julian Schwinger mutatta be 1951-ben.

A Schwinger-egyenletek egyetlen egyenletként is megfogalmazhatók variációs deriváltokban :

\left\{{\frac ({\overrightarrow {\delta }}S(\varphi )}{\delta \varphi (x))){\bigg |}_{\varphi =\chi {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}+A(x)\right\}G(A)=0,

ahol az akciófunkcionális , a teljes Green függvények generáló funkciója . A funkcionális argumentuma a mezővel azonos természetű klasszikus objektum , vagyis a bozonok szokásos függvénye és a fermionok anticommuting függvénye , - a baloldali variációs derivált , bozonikus esetben, fermionos esetben. $S(\varphi )$ $G(A)$ $Fejsze)$ $\varphi$ ${\frac {\overrightarrow {\delta )){\delta iA))$ $\chi =+1$ $\chi =-1$

Egy olyan elmélet esetében , amelynek a terepen a cselekvési polinomja van, ez az egyenlet egy véges rendű egyenlet variációs deriváltokban. Csak egy numerikus tényezőig határozza meg a megoldást – a Green-függvény vákuumhurkok nélküli generáló függvénye egyedileg meghatározott , ahol a szabad elmélet Green-függvényeinek generáló funkcionálisa. $H(A)=G_{0}^{-1}G(A)$ $G_{0}$

Az egyenletben behelyettesítést és a differenciálás utáni szorzót csökkentve megkapjuk a Schwinger-egyenletet az összekapcsolt Green-függvények generáló függvényére . ${\displaystyle G(A)=e^{W(A)))$ $e^{W(A)}$ $W(A)$ $W_{n}$

Sorozatként ábrázolva $W(A)$

W(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {W_{n}(iA)^{n}}{n!}},

és az együtthatókat minden hatványon összehasonlítva kapunk egy összekapcsolt egyenletrendszert az összekapcsolt Green-függvényekre . $iA$ $W_{n}$

A Schwinger-egyenlet a kvantumelektrodinamikában

A Schwinger-egyenletek megszerzéséhez a külső mezők klasszikus forrásait vezetjük be. Például az 1/2-es spinnel rendelkező részecskék kvantumelektrodinamikájában a legegyszerűbb változatban elegendő bevezetni a Lagrange-ba a kvantált fotontér kölcsönhatását egy külső elektromágneses tér forrásával minimális formában - . Emiatt lehetővé válik, hogy a klasszikus forrás feletti funkcionális variációval Green-függvényeket kapjunk nagyszámú fotonvéggel . A szórási mátrix lesz a forrásfüggvény . Kényelmes bevezetni a fotonmező operátor átlagos megfigyelt értékét is (a kvantumkorrekciókat figyelembe véve): $A^{\mu }(x)$ $J_{\mu }(x)$ ${\displaystyle J_{\mu }A^{\mu ))$ $J_{\mu }(x)$ $S[J]$

{\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }( x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x))),

ahol az operátorok átlagos értéke a vákuumállapotokhoz képest az interakciós ábrázolásban , a szimbólum az operátorok kronológiai sorrendjét jelöli , a variációs deriváltja . $S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.$ $\langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle$ $T$ ${\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))),$

Ennek eredményeként a kétpontos fermionikus Green függvényhez

G(x,y\vert J)=-{\frac {i}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{\psi (x){\overline {\psi } }(y)S[J]\}\vert 0\rangle ,

ahol a fermionikus (elektron-pozitron) mező spinor operátora, az operátor feletti oszlop pedig Dirac konjugációt jelent , van egy Dirac típusú egyenletünk : $\psi(x)$

\left\{\gamma _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial x_{\mu ))}-e{\mathcal {A^{\mu ))}(x )\right]-m-ie\gamma _{\mu }{\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))\right\}G(x,y\vert J)=\ delta ^{4}(xy),

hol vannak a Dirac-mátrixok és az elektron töltése és tömege. A fotonmező operátor átlagos értékéhez a Maxwell-egyenlet típusának egyenletét kapjuk (az egyenlet jobb oldalán a második tag a klasszikus áram kvantumkorrekcióit jelenti ): $\gamma_{\mu}$ $e,m$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$ $J$

\Box {\mathcal {A^{\mu }}}(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }G(x,x \vert J)],

ahol a nyomot átveszik a spinor indexek. Az eredményül kapott egyenleteket, amelyek lehetővé teszik a meghatározását és adott forrásokból , Schwinger-egyenleteknek nevezzük . $J_{\mu }(x)$ $G(x,y\vert J)$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$

A kétpontos Green foton függvényét a reláció segítségével találhatjuk meg

G^{\mu \nu }(x,y\vert J)=-{\frac {\delta A^{\mu }(x)}{\delta J^{\nu }(y)} }=-i{\frac {\delta ^{2}\ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y))).

A mennyiséget generáló függvénynek nevezzük . $Z[J]\equiv i\ln S_{0}[J]$

A hárompontos csúcsrész a következőképpen definiálható:

\Gamma _{\mu }(x,y,z)=-{\frac {\delta }{\delta A^{\mu ))}G^{-1}(x,y\vert J ),

ahol a fermionikus Green-függvény inverz operátora. A Schwinger-egyenletek szorosan kapcsolódnak a Dyson-egyenletekhez . Schwinger egy egyenletet is levezetett két részecske (fermion) négypontos Green-függvényére. Külső mező hiányában ez az egyenlet ekvivalens a Bethe-Salpeter egyenlettel . $G^{-1}$

Irodalom

Vasziljev AN § 7.1 Schwinger-egyenletek // Funkcionális módszerek a kvantumtérelméletben és -statisztikában. - L . : Leningrádi Egyetem Kiadója, 1976. - S. 72-74. — 295 p.
Bogolyubov HH, Shirkov DV VI. fejezet. A divergenciák kiküszöbölésének általános elméletének alkalmazása // Bevezetés a kvantált mezők elméletébe,. - 4. kiadás,. - M. : Nauka, 1984. - T. 4. - S. 389. - 600 p.
Fizikai enciklopédia / Ch. szerk. A. M. Prohorov. Szerk. számol D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovikov és mások - Szovjet Enciklopédia, 1988. - ISBN 5-85270-034-7 .