Jet (matematika)

A jet (vagy jet , angolul jet ) egy olyan szerkezet, amelyet egy függvény (vagy szakasz) parciális deriváltjai egyedileg határoznak meg egy pontban egy bizonyos sorrendig. Például egy függvény k -jet nullánál egyértelműen a következő -edik számsorral van leírva: $f$ $(k+1)$

f(0),f'(0),\dots ,f^{(k)}(0).

A fúvókák és a csírák invariáns nyelvet biztosítanak a sima sokaságokon alapuló differenciálegyenletek elméletéhez .

Definíciók

Analitikai meghatározás

A sima köteg k -jet egy pontonegy csomóponton olyan sima szakaszok gyűjteménye, amelyek ugyanazokkal a k -edik Taylor-polinomokkal rendelkeznek valamely (és így bármely) diagramegy pontjában. $E$ $M$ $x$ $x$ $x$

A sugárteret egy pontban $k$ $x$ jelöljük . ${\displaystyle J_{x}^{k))$

Algebro-geometriai definíció

Ez a meghatározás az algebrai geometria és a kommutatív algebra elgondolásán alapul . Legyen a sima leképezések csíráinak vektortere a pontban . Legyen egy pontban eltűnő leképezések ideálja (ez a lokális gyűrű maximális ideálja ) , és legyen az ideál , amely az összes leképezés csíráiból áll, egy pontban egészen a harmadrendig. A fúvókák terét egy pontban így határozzuk meg $C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $f\colon \mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R} ^{m}$ $p\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $p$ $C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ ${\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}$ $p$ $k$ $p$

J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})=C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{ n},\;\mathbb{R} ^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}.

Ha egy sima leképezés, akkor egy pontban egy -jet elemet definiálhatunk , amelyhez $f\colon \mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R} ^{m}$ $k$ $f$ $p$ $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$

J_{p}^{k}f=f\,({\bmod \,}{\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}).

Taylor tétele

A definíciótól függetlenül Taylor tétele kanonikus izomorfizmust hoz létre a vektorterek és a vektorterek között, így az euklideszi térben lévő függvények jetjeit gyakran azonosítják a megfelelő Taylor-polinomokkal. $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $\mathbb{R} ^{m}[z]/(z^{{k+1}})$

A fúvókák tere pontról pontra

Meghatároztuk a sugárteret a pontban . Az alteret, amely azokat a leképezési fúvókat tartalmazza , amelyekhez , jelölve van $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $p\in \mathbb{R} ^{n}$ $f$ $f(p)=q$

J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})_{q}=\{J^{k}f\in J_{p} ^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})\mid f(p)=q\}.

Egy sima köteg szakaszainak fúvókái

Legyen sima köteg . Szakaszainak harmadrendű jetje ezen szakaszok ekvivalencia osztálya, amelyeket akkor azonosítunk, ha értékeik és parciális deriváltjaik értéke egy ponton a harmadrendig egybeesik. A harmadrendű fúvókák egy sima elosztót alkotnak , amelyet sugárelosztónak neveznek . $Y\-X$ $k$ $j_{x}^{k}s$ $s$ $k$ $x$ $k$ $J^{k}Y$

A kapcsolatelmélet , a differenciáloperátor-elmélet és a sima kötegekre vonatkozó Lagrange-elmélet ( beleértve a klasszikus térelméletet is) a sugárelosztók szerint vannak megfogalmazva . $J^{k}Y$

Irodalom

Bocharov A.V., Verbovetsky A. M., Vinogradov A. M., Duzhin S. M., Dyer I. S., Samokhin A. V., Torkhov Yu. N., Khorkova N. G. , Chetverikov V. N. Gyári, 2005 - 380 p. ISBN 5-88688-074-7
Vinogradov A. M., Krasilshchik I. S., Lychagin V. V. Bevezetés a nemlineáris differenciálegyenletek geometriájába . — M .: Nauka, 1986. — 336 p.
Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Bevezetés a h -elvbe . - M .: Moszkvai Matematikai Folyamatos Oktatási Központ, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .
Saunders D. A sugárnyalábok geometriája. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
Sardanashvili G. A. A térelmélet modern módszerei. 1. Geometria és klasszikus területek. - M. : URSS, 1996. - 224 p. — ISBN 5-88417-087-4 .
Sardanashvily, G. , Szálkötegek, sugárcsövek és Lagrange-elmélet. Előadások teoretikusoknak, arXiv: 0908.1886
Pavlova N.G., Remizov A.O. Bevezetés a szingularitáselméletbe . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .