Pszeudokonvex függvény

Az álkonvex függvény olyan függvény , amely konvex függvényként viselkedik a lokális minimum meghatározásában , de nem feltétlenül konvex. Informálisan egy differenciálható függvény pszeudokonvex, ha bármely irányban növekszik, ahol pozitív irányú deriváltja van .

Formális definíció

Egy véges dimenziós euklideszi térben egy (nem üres) konvex nyílt X nyílt halmazon definiált valós értékű ƒ függvényt pszeudokonvexnek nevezzük , ha minden x , y ∈ X esetén , akkor [1] . Itt látható a képlet által meghatározott ƒ gradiens $\mathbb {R} ^{n}$ $\nabla f(x)\cdot (yx)\geqslant 0$ $f(y)\geqslant f(x)$ $\nabla f$

\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1))},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right ).

Tulajdonságok

Bármely konvex függvény pszeudokonvex, de fordítva nem igaz. Például egy függvény pszeudokonvex, de nem konvex. Bármely pszeudo-konvex függvény kvázi -konvex , de fordítva nem igaz, mivel a függvény kvázi -konvex, de nem pszeudo-konvex. Az álkonvexitás elsősorban azért érdekes, mert egy x * pont egy pszeudo-konvex függvény lokális minimuma ƒ akkor és csak akkor, ha az ƒ függvény stacionárius pontja , ami akkor következik be, amikor az ƒ függvény gradiense eltűnik x -en * : ${\displaystyle f(x)=x+x^{3))$ $f(x)=x^{3}$

\nabla f(x^{*})=0.

[1] .

Nem differenciálható függvények általánosításai

Az álkonvexitás fogalma a következőképpen általánosítható a nem differenciálható függvényekre [2] . Adott egy függvény felső Dini-származékát így definiálhatjuk $f:X\to \mathbb {R}$

f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}}

ahol u tetszőleges egységvektor . Egy függvényt pszeudokonvexnek nevezünk, ha bármely irányban növekszik, ahol a felső Dini-derivált pozitív. Pontosabban, aldifferenciálként a következőképpen írható le: $\partial f$

Valamennyire , ha létezik , az x -et és y -t összekötő szegmens minden z -jére valami . $x,y\X-ben$ $x^{*}\in \partial f(x)$ $\langle x^{*},yx\rangle \geqslant 0\,,$ $f(x)\leqslant f(z)$

Kapcsolódó fogalmak

Az álkonkáv függvény olyan függvény, amelynek negatívja pszeudokonvex. A pszeudolineáris függvény egy olyan függvény, amely egyszerre pszeudokonvex és pszeudokonkáv [3] . Például a lineáris-tört programozási problémáknak pszeudo -lineáris célfüggvényei és lineáris egyenlőtlenségi korlátai vannak . Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik a törtprogramozási problémák megoldását a szimplex módszer ( George B. Dantzig ) [4] [5] [6] egy változatával .

Lásd még

Álkonvexitás

Jegyzetek

↑ 12. Mangasarian , 1965 .
↑ Floudas, Pardalos, 2001 .
↑ Rapcsak, 1991 .
↑ Craven, 1988 , p. 145.
↑ Kruk, Wolkowicz, 1999 , p. 795–805.
↑ Mathis, Mathis, 1995 , p. 230–234.

Irodalom

Craven BD Frakcionált programozás. - Berlin: Heldermann Verlag, 1988. - V. 4. - P. 145. - (Sigma Series in Applied Mathematics). — ISBN 3-88538-404-3 .
Serge Kruk, Henry Wolkowicz. Pszeudolineáris programozás // SIAM Review . - 1999. - T. 41 . – S. 795–805 . - doi : 10.1137/S0036144598335259 . — .
Frank H. Mathis, Lenora Jane Mathis. Lineáris programozási algoritmus a kórházvezetéshez // SIAM Review . - 1995. - T. 37 , 2. sz . – S. 230–234 . - doi : 10.1137/1037046 . — .
Christodoulos A. Floudas, Panos M. Pardalos. Általánosított monoton többértékű térképek // Encyclopedia of Optimization. - Springer, 2001. - P. 227. - ISBN 978-0-7923-6932-5 .
Rapcsak T. A pszeudolineáris függvényekről // European Journal of Operational Research. - 1991. - T. 50 , sz. 3 . – S. 353–360 . — ISSN 0377-2217 . - doi : 10.1016/0377-2217(91)90267-Y .
Mangasarian OL Pszeudo-konvex függvények // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control. - 1965. - január ( 3. köt. 2. szám ). – S. 281–290 . — ISSN 0363-0129 . - doi : 10.1137/0303020 .