Kvázi-konvex függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. március 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A kvázikonvex függvény a konvex függvény fogalmának általánosítása , amely széles körben alkalmazható a nemlineáris optimalizálásban , különösen az optimalizálás közgazdaságtanban történő alkalmazásakor .

Definíció

Legyen X konvex részhalmaza . Egy függvényt kvázikonvexnek vagy unimodálisnak nevezünk, ha a következő egyenlőtlenség tetszőleges elemekre és : $\mathbb {R} ^{n}$ $f:X\to \mathbb {R}$ $x,y\in X$ $\lambda \in [0,1]$

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big (}f(x),f(y){\big )}.$

Ha még: ${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big (}f(x),f(y){\big )))$

mert és akkor a függvényt szigorúan kvázikonvexnek mondjuk . $x\neq y$ $\lambda \in(0,1)$

Egy függvényt kvázikonkávnak (szigorúan kvázikonkávnak) nevezünk , ha kvázikonvex (szigorúan kvázikonvex). $f:X\to \mathbb {R}$ $-f$

Hasonlóképpen egy függvény kvázi-konkáv, ha

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

és szigorúan kvázi homorú ha

f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

A kvázikonvex és kvázikonkáv függvényt kvázi- lineárisnak nevezzük .

Példák

Egy tetszőleges konvex függvény kvázikonvex, egy tetszőleges konkáv függvény kvázikonkáv.
A függvény kvázi lineáris a pozitív valós számok halmazán . $f(x)=\ln x$
A függvény kvázi konkáv a halmazon (nem negatív számpárok halmaza), de nem konvex és nem konkáv. ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2))$ $\mathbb {R} _{+}^{2},$
A függvény kvázikonvex, és nem konvex és nem is folytonos . $x\mapsto \lfloor x\rfloor$

Tulajdonságok

A függvény , ahol egy konvex halmaz , akkor és csak akkor kvázikonvex az összes halmazra $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\beta \in \mathbb {R} ,$

${\displaystyle X_{\beta }=\{x\in X|f(x)\leqslant \beta \))$ konvex

Bizonyíték. Legyen a halmaz konvex bármely β esetén. Rögzítünk két tetszőleges pontot , és figyelembe vesszük a Pontok pontban lévő pontot . Mivel a halmaz konvex, akkor , és ezért, azaz a definícióban megadott egyenlőtlenség teljesül, és a függvény kvázikonvex.

{\displaystyle X_{\beta ))

x_1, x_2\X-ben

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\quad \lambda \in (0,1).

{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X_{\beta ))

{\displaystyle \beta =\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\))

{\displaystyle X_{\beta ))

{\displaystyle \;x\in X_{\beta ))

f(x)\leqslant \beta =max\{f(x_{1}),f(x_{2})\},

Legyen az f függvény kvázikonvex. Egyeseknél tetszőleges pontokat rögzítünk Akkor . Mivel X egy konvex halmaz, akkor bármely pontra . A kvázikonvexitás definíciójából következik, hogy , azaz . Otzhe, egy domború halmaz.

\beta \in \mathbb {R}

x_{1},x_{2}\in X_{\beta }.

\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

\lambda \in(0,1)

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}\in X

f(x)\leqslant max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

{\displaystyle x\in X_{\beta ))

{\displaystyle X_{\beta ))

Egy folytonos függvény , ahol X egy konvex halmaz , akkor és csak akkor kvázikonvex, ha az alábbi feltételek egyike teljesül: $f:X\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

f értéke nem csökkenő;
f - nem növekvő;
van egy pont , ahol az f függvény mindegyikére nem növekvő, és mindenre f nem csökkenő. $c\in X$ $t\in X,t\leqslant c,$ $t\in X,t\geqslant c,$

Differenciálható kvázikonvex függvények

Legyen egy differenciálható függvény X - en , ahol nyílt konvex halmaz. Ekkor f kvázikonvex X-en akkor és csak akkor, ha a reláció teljesül: $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$

f(y)\leqslant f(x)\Rightarrow \left\langle f^{'}(x),yx\right\rangle \leqslant 0

mindenkinek .

x,y\in X

Legyen f kétszer differenciálható függvény. Ha f kvázikonvex X-en, akkor teljesül a következő feltétel:

\left\langle f^{'}(x),y\right\rangle =0\Rightarrow \left\langle f^{''}(x)y,y\right\rangle \geqslant 0,

mindenkinek .

x\in X,y\in \mathbb {R} ^{n}

A kvázi-konvexitás és a kvázikonkávitás szükséges és elégséges feltételei az úgynevezett határolt Hess-mátrix segítségével is megadhatók . A függvényhez meghatározzuk a determinánsokat : $f(x_{1},\ldots ,x_{m})$ $1\leqslant n\leqslant m$

$D_{n}={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}&{\frac {\partial f}{\partial x_{2))} &\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^ {2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\ cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n))}\\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{2} }}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ 2}^{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n))}\\\\\vdots &\vdots &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n} \,\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{vmatrix}}$

Akkor igazak az állítások:

Ha az f függvény kvázikonvex egy X halmazon , akkor D n ( x ) ≤ 0 minden n -re és minden x -re .
Ha az f függvény kvázi-konkáv az X halmazon , akkor D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 minden X - re .
Ha D n (x) ≤ 0 minden n -re és minden x -re, ahol X , akkor az f függvény kvázikonvex az X halmazon .
Ha D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 minden x esetén, ahol X , az f függvény kvázikonkáv az X halmazon .

Kvázi-konvexitást megőrző műveletek

A súlyozott kvázikonvex függvények maximuma nem negatív súllyal, azaz.

f=\max \left\lbrace w_{1}f_{1},\ldots ,w_{n}f_{n}\right\rbrace

ahol

w_{i}\geqslant 0

nem csökkenő függvényű összetétel (ha kvázi-konvex, nem csökkenő, akkor kvázikonvex). $g:\mathbb {R} ^{n}\jobbra \mathbb {R}$ $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $f=h\circ g$
minimalizálás (ha f(x, y) kvázikonvex, C konvex halmaz, akkor kvázikonvex). $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$

Linkek

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe Convex Optimization Archivált : 2017. július 13. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Alpha C Chiang, A matematikai közgazdaságtan alapvető módszerei, harmadik kiadás, McGraw Hill Book Company, 1984.