Koordináta transzformáció

A koordináta-transzformáció egy koordinátarendszer cseréje síkon, térben, vagy a legáltalánosabb esetben egy adott dimenziós sokaságon . $n$

Példa a poláris koordinátákról a derékszögűre való átmenetre az euklideszi síkban : $\{r,\varphi \}$ ${\megjelenítési stílus \{x,y\))$

{\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases))

Leggyakrabban koordináta-transzformációt hajtanak végre, hogy egy egyszerűbb vagy kényelmesebb matematikai modellre váltsanak az elemzéshez . Például néhány síkgörbe egyenlete poláris koordinátákban sokkal egyszerűbb, mint a derékszögűekben, és tengelyszimmetrikus testek tanulmányozásához célszerű az egyik koordinátatengelyt a szimmetriatengely mentén irányítani.

Definíció

A koordináta-transzformáció olyan szabályok [1] halmaza, amely egy dimenziós sokaság minden koordinátakészletét társítja egy másik koordinátakészlettel : $\{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\}$ $n$ $\{x_{1}',x_{2}'\dots x_{n}'\}$

{\begin{cases}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\x_{2}'=x_{2} '(x_{1},x_{2},\pontok x_{n})\\\pontok \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\pontok x_ {n})\end{cases}}

Ebben az esetben a transzformáció után meg kell őrizni a sokaság pontjai és a koordinátahalmazok közötti egy az egyhez való megfelelést (egyes szinguláris pontoknál megengedettek kivételek).

Ez az átalakulás kétféleképpen értelmezhető [2] .

Passzív nézőpont - a sokaság pontjainak koordinátái megváltoznak. Minden pont a helyén marad.
Aktív nézőpont - a transzformáció a sokaság minden pontjához egy másik pontot rendel. A koordinátarendszer nem változik.

Példa az euklideszi síkra :

{\begin{cases}x'=x+1\\y'=y\end{cases))

Ez az átalakulás kétféleképpen értelmezhető.

Olyan koordinátarendszer-változás, amely az összes pont abszcisszáját 1-gyel növeli.
Fordítsa le a sík összes pontját 1-gyel párhuzamosan a tengellyel $x.$

A gyakorlati jelentőségű koordinátarendszerek alapvető transzformációs képleteinek összefoglalását lásd a Koordinátarendszer című cikkben .

Osztályozás

A képletek típusa szerint az összes koordinátatranszformációt különféle osztályokba lehet csoportosítani, amelyek közös jellemző tulajdonságokkal rendelkeznek. Az alábbiakban néhány, egymással kombinálható, gyakorlatilag fontos átalakítási osztályt mutatunk be.

Izometria - transzformációk, amelyek minden hosszúságot megőriznek. Beleértve:
- Forgatás egy pont vagy tengely körül.
- Párhuzamos átvitel .
- Reflexió . E három típus kombinációját mozgásnak nevezzük .
Konform leképezés , amely minden szöget megőriz. Beleértve:
- Hasonlóság – a szögek megmaradnak, de minden hossz megszorozódik valamilyen állandó nyúlási/tömörítési aránnyal.
Affin transzformáció .

Általában egy megkülönböztetett osztály transzformációk csoportja az általános algebra értelmében , azaz két transzformáció összetétele ugyanabba az osztályba tartozik, és minden transzformációhoz van egy inverz. Ennek a csoportnak a vizsgálata lehetővé teszi a transzformációk szimmetriáinak és invariánsainak elkülönítését.

Invariánsok

Ennek a koordináta-transzformációnak egy invariánsa a koordináták függvénye, amelyek értéke a transzformáció után nem változik [3] . Például az elforgatások és a fordítások nem változtatják meg az euklideszi tér pontjai közötti távolságot. Az invariánsok egy transzformációs csoport fontos jellemzői.

Lásd még

Irodalom

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Matematikai kézikönyv mérnökök és felsőoktatási intézmények hallgatói számára. - szerk. 13. — M .: Nauka, 1986. — 544 p.
Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Yaglom I. M. Geometriai transzformációk. 1., 2. kötet. - M .: Gostekhizdat, 1956, 612 p.

Linkek

Zaslavsky A. A. Geometric transformations Archivált : 2016. március 4. a Wayback Machine -nál .

Jegyzetek

↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 , p. 362..
↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 , p. 362-363..
↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 , p. 363..