Hányados

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az arány a matematikában (arány, arány) két homogén számérték kapcsolata [1] . Általában " a -tól b -ig " fejezik ki, vagy néha aritmetikailag két numerikus érték elosztásának eredményeként (nem feltétlenül egész számként ) fejezik ki [2] , amely közvetlenül azt jelzi, hogy az első szám hányszor tartalmazza a másodikat [3] .

Egyszerűen fogalmazva, az arány azt mutatja, hogy egy dolog minden mennyiségéhez mennyi más dolog tartozik. Tegyük fel például, hogy valakinek 8 narancs és 6 citrom van egy gyümölcstálban, a narancs és a citrom aránya 8:6 (vagy ennek megfelelője 4:3), a citrom és a narancs aránya pedig 3:4. Ezenkívül a narancsok száma a gyümölcsök teljes számához viszonyítva 4:7 (ez 8:14-nek felel meg). A 4:7 arány átszámítható 4/7 töredékére , ami megmutatja, hogy a gyümölcsök teljes számának mekkora hányada a narancs.

Megnevezések és kifejezések

Az A és B számok aránya a következőképpen ábrázolható: [2]

sőt az arányokat általában egész számok arányaként írjuk fel, és ebben az esetben az A és B számok aránya is

Az A és B számokat ebben az összefüggésben néha kifejezéseknek (termeknek) nevezik, ahol A  az előzmény , B  pedig a következmény .

Az A  : B és C  : D arányok egyenlőségét kifejező arányt A  : B = C  : D vagy A  : B ∷ C  : D formában írjuk fel . Olvas:

A B - hez , mint C D -hez .

És ebben az esetben A , B , C , D az arány tagjainak nevezzük. A és D az arány szélső  tagjai , B és C  pedig a középső tagjai .

Néha arányokban három vagy több kifejezés is írható. Például egy kettőtől négyig terjedő metszetű és tíz centiméter hosszúságú objektum méretei 2:4:10. A három vagy több arány egyenlőségét folytonos aránynak nevezzük ( angol nyelven  tovább arány - arányok sorozata ). [2]

Történelem és etimológia

Lehetetlen nyomon követni a ratio fogalmának eredetét , hiszen azokat az eszméket, amelyekből kifejlődött, az írásbeliség előtti kultúrák is ismerték. Például az a gondolat, hogy az egyik falu kétszer akkora, mint a másik, annyira alapvető, hogy még egy őskori társadalom is megértette volna. [négy]

A kapcsolat jelölésére a görögök a másik görög kifejezést használták . λόγος , amelyet a latinok ratioként ("ésszerű ok"; mint a "racionális" szóban) vagy proportioként fordítottak . (A racionális szám két egész szám arányának eredményeként fogható fel.) Az ősi jelentés modernebb értelmezése közelebb áll a „számításhoz” vagy a „számításhoz”. [3] Boethius („Az aritmetika alapjai”, „A zene alapjai”, 6. század eleje) a proportio szót használta (a ratio , comparatio és habitudo mellett ) a ratio és aproporcionalitas (más görög fordítása . ἀναλογίoteα ) jelölésére . ( kapcsolati viszonyok) [5] . Ezt a terminológiát (Boethius aritmetika és zene széleskörű használata miatt) a középkorban is gyakorolták.

Euklidész az Elemekben egyesített korábbi forrásokból származó eredmények. A püthagoreusok kidolgozták az arány és az arány elméletét a számokra alkalmazva [6] . A pitagoraszi számfogalom csak a racionális számokat tartalmazta , ami kétségeket ébreszt az elmélet geometriában való alkalmazhatóságával kapcsolatban, ahol – amint azt a pitagoreusok is felfedezték – az irracionális számoknak összemérhetetlen dimenziói vannak . Az összemérhetőséget nem feltételező összefüggéselmélet felfedezése valószínűleg Cnidus Eudoxusához tartozik . A „Kezdetek” VII. könyvében az összemérhető mennyiségek arányainak egy korábbi elmélete szerepel [7] .

Számos elmélet léte a modern szemléletben felesleges bonyodalomnak tűnik, hiszen az arányokat nagymértékben az osztás eredménye határozza meg. Ez azonban egy meglehetősen friss felfedezés, ami abból is kitűnik, hogy a modern geometriai tankönyvek még mindig más-más terminológiát használnak az arányokra (ratio) és az osztási eredményekre (hányados, hányados). Ennek két oka van. Először is, ott volt a fent említett vonakodás az irracionális számok valódi számokként való felismerésére. Másodszor, az arányok már kialakult terminológiáját helyettesítő, széles körben használt szimbólumok (jelölések) hiánya a 16. századig késleltette a törtek alternatívaként való teljes elfogadását. [nyolc]

Euklidész definíciói

Az Euclid's Elements V. könyve 18 definíciót tartalmaz az összefüggésekre vonatkozóan [9] . Ezenkívül Eukleidész olyan gondolatokat használ, amelyek olyan széles körben használtak, hogy nem határozza meg őket. Az első két definíció azt mondja, hogy a mennyiség egy része egy másik mennyiség, amely "méri" azt, és fordítva, egy mennyiség többszöröse egy másik mennyiség, amelyet mér. Modern szóhasználattal ez azt jelenti, hogy egy mennyiség többszöröse az a mennyiség, amely egynél nagyobb egész számmal van megszorozva, és a mennyiség törtrésze (azaz az osztó ), ha egynél nagyobb számmal szorozzuk, ezt a mennyiséget adja.

Eukleidész nem határozza meg a „mérték” szót. Feltételezhető azonban, hogy ha egy mennyiséget mértékegységnek veszünk, és egy másik mennyiséget az ilyen mértékegységek összességeként ábrázolunk, akkor az első mennyiség méri a másodikat. Megjegyzendő, hogy ezek a meghatározások szinte szóról szóra ismétlődnek a VII. könyv 3. és 5. definíciójaként.

A 3. definíció megmagyarázza, hogy mi a reláció általános értelemben. Matematikailag nem szigorú, és egyes tudósok inkább a szerkesztőknek tulajdonítják, mint magának Eukleidésznek. [10] Az Eukleidész meghatározza két azonos típusú mennyiség arányát , például két szegmens vagy két terület közötti arányt, de nem határozza meg a hossz és a terület arányát. A 4. definíció ezt még szigorúbbá teszi. Azt állítja, hogy két mennyiség között akkor áll fenn arány, ha mindegyiknek van többszöröse, amely nagyobb a másiknál. Modern szóhasználattal: p és q mennyiségek között akkor áll fenn kapcsolat, ha vannak olyan m és n egész számok , amelyekre mp > q és nq > p . Ezt az állapotot Arkhimédész axiómájaként ismerik .

Az 5. definíció a legösszetettebb és legnehezebben érthető. Megmagyarázza, mit jelent az egyenlőség két arány esetén. Ma egyszerűen kijelenthetjük, hogy az arányok egyenlők, ha az osztótagok eredményei egyenlőek, de Eukleidész nem ismerte fel az osztási eredmények létezését összemérhetetlen mennyiségekre, így számára egy ilyen meghatározás értelmetlen lenne. Ezért finomabb meghatározásra volt szükség azon mennyiségek esetében, amelyek nem közvetlenül mérik egymást. Bár előfordulhat, hogy nem lehet racionális értéket rendelni egy arányhoz, az arányt össze lehet hasonlítani egy racionális számmal. Ugyanis két p és q mennyiség, valamint egy m / n racionális szám mellett azt mondhatjuk, hogy p és q aránya kisebb, egyenlő vagy nagyobb m / n -nél, ha np kisebb, egyenlő, vagy nagyobb, mint mq , ill. Az egyenlőség euklideszi definíciója a következőképpen fogalmazható meg: két arány akkor egyenlő, ha azonos módon viselkedik, miközben kisebb, egyenlő vagy nagyobb bármely racionális számnál. Modern jelöléssel ez így néz ki: adott p , q , r és s , p : q :: r : s mennyiségek akkor érvényesek , ha bármely m és n pozitív egész számra az np < mq , np = mq , np > mq in összefüggés szerint nr < ms , nr = ms , nr > ms . Figyelemre méltó hasonlóság van e definíció és az irracionális számok modern elméletében használt Dedekind-vágás elmélete között [11] .

A 6. definíció kimondja, hogy az azonos arányú mennyiségek arányosak vagy arányosak . Eukleidész a görög ἀναλόγον (analóg) szót használja, melynek gyökere megegyezik a λόγος szóval, amelyből az "analóg" szó származik.

A 7. definíció elmagyarázza, mit jelent, ha egy arány kisebb vagy nagyobb, mint egy másik, és az 5. definíció ötleteire épít. Modern jelöléssel: adott p , q , r és s mennyiségek, p : q > r : s , ha vannak pozitív egészek m és n úgy, hogy np > mq és nr ≤ ms .

A 3. definícióhoz hasonlóan a 8. definíciót egyes kutatók a szerkesztők késői beillesztésének tekintik. Azt mondja, hogy a három p , q és r tag arányos, ha p : q :: q : r . Ez 4 p , q , r és s tagra bővül, mint p : q :: q : r :: r : s stb. Azokat a sorozatokat, amelyeknek az a tulajdonsága, hogy az egymást követő tagok aránya egyenlő, geometriai progressziónak nevezzük . A 9. és 10. definíció ezt úgy alkalmazza, hogy ha p , q és r arányos, akkor p : r a p : q kettős aránya , ha pedig p , q , r és s arányos, akkor p : s a p : q háromszoros aránya . Ha p , q és r arányos, akkor q -t p és r arányos átlagának (vagy mértani középének ) nevezzük . Hasonlóképpen, ha p , q , r és s arányosak, akkor q -t és r -t p és s átlagarányosnak mondjuk .

Százalék

Ha az összes mennyiséget arányosan megszorozzuk azonos számmal, az arány nem változik. Például a 3:2 arány ugyanaz, mint a 12:8. Az arányt általában a legkisebb közös nevezőre redukálják, vagy száz ( százalékos ) törtrészben fejezik ki. Néha az összehasonlítás megkönnyítése érdekében az arányokat n :1 vagy 1: n formában adjuk meg .

Ha a keverék A , B , C és D anyagokat 5:9:4:2 arányban tartalmazza, akkor minden 9 B részhez 5 rész A , 4 rész C és 2 rész D. Mivel 5+9+4+2=20, a teljes keverék 5/20 A -t (20-ból 5 rész), 9/20 B -t , 4/20  C -ot és 2/20 D -t tartalmaz. Ha ezeket a számokat elosztjuk a teljes összeggel, megszorozzuk 100-zal, akkor megkapjuk a százalékokat: 25% A, 45% B, 20% C és 10% D (az arány 25:45:20:10). ).

Arányok

Ha egy adott helyzetben kettő vagy több arányban lévő mennyiséget veszünk számításba – mondjuk, ha egy kosárban két alma és három narancs van, és csak ezek –, akkor azt mondhatjuk, hogy az „egész” öt részből áll. két rész almából és három darab narancsból. Ebben az esetben , vagy az egész 40%-a alma, és , vagy az egész 60%-a narancs. Egy adott mennyiség és az „egész” összehasonlítását néha aránynak is nevezik. Az arányokat néha százalékban fejezik ki , mint fent.

Egyéb felhasználások

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Wentworth, p. 55
  2. ↑ 1 2 3 New International Encyclopedia
  3. ↑ 1 2 Penny Cyclopedia, p. 307
  4. ↑ Smith, p. 477
  5. ↑ A. M. S. Boethius. A zene alapjai / A szöveg előkészítése, latin nyelvű fordítás és kommentár S. N. Lebegyev. M.: Tudományos és kiadói központ "Moszkvai Konzervatórium", 2012, pp. xxxiv-xxxv, 276.
  6. ↑ Heath, 1908 , p. 112.
  7. ↑ Heath, 1908 , p. 113.
  8. ↑ Smith, p. 480
  9. ↑ Heath, 1908 , szakasz hivatkozása.
  10. ↑ "Geometria, euklideszi" Encyclopædia Britannica Eleventh Edition p682.
  11. ↑ Heath, 1908 , p. 125.

Irodalom