Melltartó és macska

⟨	∣	⟩
melltartó		ket
gyertyatartó		ket
hamar		bka

A bra és ket ( angolul bra-ket < bracket bracket ) egy algebrai formalizmus (jelölésrendszer), amely kvantumállapotok leírására szolgál . Más néven Dirac - jelölés . A mátrixmechanikában ez a jelölés általánosan elfogadott. Ez a jelölés nem más, mint a vektorok, kovektorok, bilineáris formák és belső szorzatok más szöveges jelölései, ezért általában alkalmazható (bár nem olyan általánosan használt) a lineáris algebrában. Ha ezt a jelölést használják a lineáris algebrában, az általában végtelen dimenziós terekről és/vagy komplex számok feletti lineáris allegbráról szól.

Definíció és használat

A kvantummechanikában a rendszer állapotát egy sugár írja le egy szeparálható Hilbert-térben, vagy ennek megfelelően egy projektív Hilbert-tér eleme, amelynek elemeit " állapotvektoroknak " ( "ket-vectors" ) nevezik, és a következővel jelöljük. a szimbólum . ${\mathcal {H}),$ $|\psi\rangle$

Minden ket-vektorhoz egy bra- vektor van rendelve a térkonjugálttól a -hoz , azaz -től $|\psi\rangle$ ${\mathcal {H}),$ ${\mathcal {H}}^{*}.$

A bra-vektort a térből a következő összefüggés határozza meg: $\langle \psi |$ ${\mathcal {H}}^{*}$

$\langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)\rangle =\left(|\ psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)$ , bármely ket vektorra $|\rho \rangle .$

Néhány beszédszabadság mellett néha azt mondják, hogy a melltartó vektorai „egybeesnek” a hozzájuk tartozó komplex konjugált ket vektorokkal. Ebben az esetben a vektorokat és a vektorok feletti funkcionálisokat általában a megfelelő bázisban, ill . ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\mathcal {H}).$

A bra vektor skaláris szorzatát ket vektorral (pontosabban a bra vektor mûködését a ket vektorral) úgy írjuk fel, hogy két függõleges sáv "összeolvad", és a zárójeleket elhagyjuk. A vektor négyzete a Hilbert-tér definíciója szerint nem negatív: Amikor csak lehetséges, a normalizálási feltételt a rendszer állapotait leíró vektorokra szabjuk. $\langle \varphi |\psi \rangle ;$ $\langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.$ $\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Lineáris operátorok

Ha egy lineáris operátor -tól -ig , akkor az operátor művelete a ket vektorra így íródik $A\colon H\to H$ $H$ $H$ $A$ $|\psi\rangle$ $A|\psi \rangle .$

Minden operátorhoz és bra-vektorhoz bevezetünk egy funkcionálist a térből , azaz egy bra-vektort szorozunk az operátorral , amelyet az egyenlőség határoz meg: $A$ $\langle \varphi |$ $(\langle \varphi |A)$ ${\mathcal {H}}^{*},$ $A$

{\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )} ,

bármely vektorhoz

|\psi\rangle .

Mivel a zárójelek helyzete nem számít, általában kihagyják és egyszerűen írják őket $\langle \varphi |A|\psi \rangle .$

Ezt a kifejezést operátorkonvolúciónak nevezzük bra vektorral és ket vektorral, melynek értéke skalár ( komplex szám ). $A$ $\langle \varphi |$ $|\psi\rangle .$

Konkrétan egy operátor mátrixeleme egy bizonyos alapon (tenzorjelölésben - ) Dirac-jelöléssel van írva, és a megfigyelhető (bilineáris forma) átlagértéke az állapoton - as $A$ ${\displaystyle A_{kl))$ $\langle k|A|l\rangle ,$ $\psi$ $\langle \psi |A|\psi \rangle .$

A vektorokat operátorral megszorozva (bal oldalon ket vektorok, jobb oldalon bra vektorok) azonos típusú vektorokat kapunk, és ugyanúgy írjuk le, mint a lineáris algebrában (vagyis ha a bra és ket vektorokat vektorokkal azonosítjuk - sorok és oszlopok, valamint operátorok - négyzetes mátrixokkal):

|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,

\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.

A Schrodinger-egyenlet (stacionárius állapot esetén) a következő lesz:

H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,

hol van a Hamilton és egy skalár ( energiaszint ).

H

E

A zárójel jelölése és a hagyományos jelölés közötti különbségek

A matematikában a Hilbert-térben a " Hermitian " skalárszorzat jelölést használják, ami ugyanazt jelenti, mint a melltartó kettel való szorzása. A matematikusok azonban általában a szögletes zárójeleket egy művelet jelének tekintik, nem pedig a vektormegjelölés részének. A hagyományos matematikai jelölés a Dirac-tól eltérően nem szimmetrikus - mindkét vektort azonos típusú értéknek tekintjük, és a művelet a kettő első argumentumában antilineáris. $\langle \varphi ,\;\psi \rangle$

Másrészt a melltartó és a ket szorzata bilineáris , de két különböző típusú argumentumban. A ket vektorhoz fűződő konjugátum a bra vektor lesz (ahol a képzeletbeli egység ). A kvantummechanikában azonban a jelölésnek ezt a furcsaságát figyelmen kívül lehet hagyni, mivel a vektor által reprezentált kvantumállapot nem függ a modulo one komplex számokkal való szorzásától . $i|\psi\rangle$ $-i\langle \psi |$ $én$

Emellett a melltartó és a ket használata lehetővé teszi az állapot (zárójelek és pálcikák nélkül írva) és az azt reprezentáló konkrét vektorok közötti különbség hangsúlyozását. $\psi$

Ellentétben az algebrai jelöléssel, ahol a bázis elemeit úgy jelöljük, mint a zárójelben, csak az alapelem indexe adható meg: Ebben hasonlóak a tenzorjelöléshez , de az utóbbitól eltérően lehetővé teszik az operátorok szorzatainak írását. vektorokkal további (al- vagy felső) betűk használata nélkül. $e_{k},$ $\langle k|\;,\;|l\rangle .$

Matematikai tulajdonságok

A bra és a ket a tiszta matematikában is használható lineáris terek egymáshoz konjugált elemeinek jelölésére. Ha például, akkor a ket-vektorokat „oszlopvektoroknak”, a bra-vektorokat pedig „sorvektoroknak” tekintjük. ${\mathcal {H}}=R^{n},$

A bra- és ket-vektorok egymással és operátorokkal való szorzása a "sorról oszlopra" mátrix formalizmus speciális esetének tekinthető. Ugyanis a ket-vektorokat méretű mátrixokként , a bra-vektorokat - a méretét , az operátorokat - méret mátrixokként kell feltenni , ahol a kvantumrendszer állapotainak száma ( térdimenzió ). Az 1 × 1 mátrixok egyetlen elemből állnak, és skalárokkal azonosítják őket. Egy végtelen dimenziós állapottér esetén további konvergenciafeltételeket kell szabni a "mátrixokra" (valójában sorozatokra ). $N\time 1$ $1\times N$ $N\times N$ $N$ ${\mathcal {H}}$

A konjugált vektor képlete így néz ki:

\langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_ {N}\end{pmatrix}},

ahol

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}

A típusbejegyzés mindig skalárt jelent. Egy bra-vektornak mindig van egy zárójele a bal ket-vektoron - egy zárójel a jobb oldalon Egy "természetellenes" sorrendű szorzat is bekerül - (hasonlóan egy oszlopvektor sorvektorral történő mátrixszorzásához), ami ad az úgynevezett ket-melltartó-operátor . Az operátor 1. rangú és tenzorszorzat , és az ilyen operátorokat gyakran figyelembe veszik az operátorelméletben és a kvantumszámításban . Konkrétan az operátor (normalizált állapotban ) egy projekció az állapotra , pontosabban a megfelelő egydimenziós lineáris altérre. $\langle \ldots \rangle$ $\langle ,$ $\rangle .$ $|\varphi \rangle \langle \psi |$ $|\psi \rangle \langle \varphi |$ $|\psi\rangle$ $\langle \varphi |.$ $|\psi \rangle \langle \psi |$ $\langle \psi |\psi \rangle =1$ $\psi$ ${\mathcal {H}).$

Az asszociativitás megtörténik :

\langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,

|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi } }\rangle

stb.

Irodalom

Belousov Yu. M. Kvantummechanika tanfolyam. nem relativisztikus elmélet. - M. : MIPT, 2006. - 408 p.
Davydov A. S. Kvantummechanika. — M .: Nauka, 1973. — 704 p.
Dirac P. A. M. A kvantummechanika alapelvei. — M .: Nauka, 1979. — 440 p.
Messiás A. Kvantummechanika. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 478 p.
Shpolsky E.V. Atomfizika. - M. : Nauka, 1974. - T. 2. - 448 p.
Yariv A. Bevezetés a kvantummechanika elméletébe és alkalmazásaiba. — M .: Mir, 1984. — 360 p.