Centripetális gyorsulás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Centripetális (normál) gyorsulás - a test gyorsulásának egyik összetevője , amely a sebességvektor irányában történő változás sebességét jellemzi (a második komponens, a tangenciális gyorsulás , a sebességi modulus változását jellemzi). A pálya görbületi középpontja felé irányul , amelyhez a kifejezés kapcsolódik. A gyorsításhoz választott szimbólum jelzi, a "normál" ikon hozzáadásával: (ritkábban ); az SI rendszerben m/s 2 -ben mérik . ${\vec {a}}_{n}$ ${\vec {w}}_{n}$

A nem nulla centripetális gyorsulású mozgásra példa a kör mentén történő mozgás (ebben az esetben a kör közepe felé irányul). ${\vec {a}}_{n}$

A klasszikus mechanikában a normál gyorsulást a sebességvektorra merőlegesen irányított erőkomponensek okozzák . Például egy űrobjektum mozgását a pályán a gravitáció okozta centripetális gyorsulás jellemzi . Az erőösszegnek azt az összetevőjét, amely meghatározza a normál gyorsulás jelenlétét, centripetális erőnek nevezzük . A nem inerciális vonatkoztatási rendszerekhez kapcsolódó fogalom a centrifugális erő .

Az oszcilláló gyorsulás, amelyet a test tengely körüli forgásának eseteiben veszünk figyelembe, a tengelyre merőleges síkra vetítve, centripetálisnak tűnik.

Általános képlet

A normál gyorsulást a képlet számítja ki $a_n$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

vagy (a relációt használva ) $v=\omega R$

a_n = \omega^2 R

ahol a (pillanatnyi) lineáris mozgás sebessége a pálya mentén, a mozgás (pillanatnyi) szögsebessége a pálya görbületi középpontjához viszonyítva, a pálya görbületi sugara egy adott pontban. $v$ $\omega$ $R$

A kifejezések átírhatók vektoros formában:

\mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n} =\omega ^{2}R\mathbf {n}

Itt a pálya egy adott pontjából a pálya görbületi középpontjába irányított egységvektor. $\mathbf n$

Ezek a képletek egyaránt alkalmazhatók az egyenletes mozgás adott helyzetére ( const), valamint egy tetszőleges esetre. Az egységes esetben a normál gyorsulás egybeesik a teljes gyorsulással. Általános esetben a normálgyorsulás a vektornak csak a mozgáspályára merőleges komponense (vektor ), a teljes gyorsulásvektor pedig egy érintőleges komponenst is tartalmaz , amelyet a mozgási pálya érintője társirányít [1] . $|{\vec {v}}|=\,$ ${\vec {a}}$ $\vec{v}$ $a_{\tau }=dv/dt$

A képlet származtatása

A gyorsulás érintőlegesre és normálra bontásához lehetőség van a sebességvektor időbeni differenciálására , amelyet egységnyi érintővektorként ábrázolunk : $\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt))={\frac {\ mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}=\mathbf {a} _{\ tau }+v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl)){\frac {dl}{dt))=\mathbf {a} _{\tau }+v^{2}{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl}}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}{\frac {d\mathbf {\tau } }{d\varphi }}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\,\mathbf {n}

Itt az első tag a tangenciális gyorsulás , a második pedig a normál gyorsulás. V jelöli az egységnyi normálvektort, jelöli a pálya görbületi sugarát a vizsgált pontban, és jelöli a pályahossz elemét. Bármely görbe egy kis szakasza körívnek tekinthető, sugara pedig a görbületi sugár . A transzformációk lánca a nyilvánvaló összefüggéseket használja és (ahol egy kis elfordulási szög a görbületi középpont körül). $\mathbf n$ $R$ $dl$ $R$ $dl/dt=v$ $dl=R\,d\varphi$ $d\varphi$

Az egyenlőség geometriai megfontolásokból következik. Az egység érintővektorok különbsége a pálya figyelembe vett ( ) és közeli ( ) pontjában a következő , ahol a és közötti szög . Ez a különbség a normálhoz képest szöget zár be a vizsgált pontban. Ha kicsi , akkor egybeesés lesz a normálvektorral . Ezenkívül a kicsinységgel a szinusz Taylor sorozattá bővíthető . Ennek eredményeként elérkezünk a vagy végtelenül kicsinyekhez . $d\mathbf {\tau } /d\varphi =\mathbf {n}$ $\Delta \mathbf {\tau } =\mathbf {\tau } '-\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$ $\mathbf {\tau } '$ $2\sin(\Delta \varphi /2)$ $\Delta \varphi$ $\mathbf {\tau } '$ ${\mathbf \tau }$ $\Delta \varphi /2$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\Delta \mathbf {\tau } =\Delta \varphi \,\mathbf {n}$ $d\mathbf {\tau } /d\varphi =d\varphi /d\varphi \,\mathbf {n}$

A görbületi sugárról

Egy pálya görbületi sugarának és görbületi középpontjának koordinátáinak kiszámítása matematikai probléma (lásd: Görbület ). Ha a görbét az egyenlet adja , akkor a görbületi sugarát a ( , ) pontban a következőképpen kapjuk: [2] $y = f(x)$ $x$ $y$

R={\frac {(1+f'^{2})^{3/2}}{|f''|}}

és a görbületi középpont helyzete - a képleteknek megfelelően [2]

\xi =x-{\frac {f'(1+f'^{2})}{f'')),\qquad \eta =y+{\frac {1+f'^{2} }{f''}}}

Az egység normálvektor ebben az esetben a ( , - orts ) lesz $\vec{i}$ $\vec{j}$

{\vec {n}}={\frac {\xi -x}{R}}\,{\vec {i}}+{\frac {\eta -y}{R}}\,{ \vec {j}}

Ha ismert egy anyagi pont sugárvektorának időfüggősége (matematikai szempontból ez azt jelenti, hogy a pálya paraméteres alakba állítja be), akkor a görbületi sugarat gyorsulással lehet megtalálni: ${\vec {r}}(t)$

R={\frac {v^{2}}{\sqrt {a^{2}-a_{\tau }^{2}}}}

hol és ; korábban a sebességet . A görbületi középpont általános esetben nem esik egybe a sugárvektor origójával. ${\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt$ $a_{\tau }=dv/dt$ ${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt$

Motiváció, megjegyzések

Az, hogy a gyorsulásvektor komponensekre bontása - az egyik a pálya érintője mentén (tangenciális gyorsulás), a másik pedig arra merőleges (normál gyorsulás) - kényelmes és hasznos lehet, az önmagában nyilvánvaló. Állandó modulo sebességgel haladva a tangenciális komponens nulla lesz, vagyis ebben a fontos konkrét esetben csak a normál komponens marad meg. Ezen túlmenően ezen összetevők mindegyikének megvannak a saját kifejezett tulajdonságai és szerkezete, és a normál gyorsulás meglehetősen fontos és nem triviális geometriai tartalmat tartalmaz a képlet szerkezetében. A körben történő mozgás speciális esete is rendkívül fontos.

A tangenciális gyorsulás abszolút értéke csak a talajgyorsulástól függ, annak abszolút értékével egybeesve, ellentétben a normál gyorsulás abszolút értékével, amely nem a talajgyorsulástól, hanem a haladási sebességtől függ.

A fogalom története

Úgy tűnik, Huygens volt az első, aki megszerezte a centripetális gyorsulás (vagy centrifugális erő) megfelelő képleteit . Gyakorlatilag azóta a centripetális gyorsulás figyelembe vétele elterjedt technika a mechanikai problémák megoldásában.

Valamivel később ezek a képletek jelentős szerepet játszottak az univerzális gravitáció törvényének felfedezésében (a centripetális gyorsulási képletet arra használták, hogy megkapják a gravitációs erő gravitációs forrástól való távolságtól való függésének törvényét, Kepler harmadik törvénye alapján megfigyelésekből származik ).

A 19. századra a centripetális gyorsulás figyelembevétele már meglehetősen rutinszerűvé vált mind a tiszta tudományos, mind a mérnöki alkalmazásokban.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Ahogy a képletből is látszik, állandó haladási sebességgel haladva a tangenciális gyorsulás egyszerűen nulla.
↑ 1 2 Schneider V. E. et al. Egy rövid kurzus a felsőbb matematikából. Proc. juttatás az egyetemek számára. M.: "Magasabb. iskola", c. 368-370.

mechanikus mozgás
referenciarendszer	inerciális vonatkoztatási rendszer Nem inerciális vonatkoztatási rendszer Összetett mozgás A relativitás elve
Anyagi pont	Egységes mozgás Egyenes vonalú mozgás Mozgásegyenlet Mozgásegyenletek nem inerciális vonatkoztatási rendszerben Pálya (útvonal) mozgó Sebesség Gyorsulás ( centripetális gyorsulás érintőleges gyorsulás ) gondolatjel
Fizikai test	transzlációs mozgás Sík-párhuzamos mozgás ( Párhuzamos fordítás ) Gömb alakú mozgás ( Forgó mozgás Körkörös mozgás Precesszió nutáció )
folytonosság	lamináris áramlás turbulens áramlás
Kapcsolódó fogalmak	Sebesség terv A vonat vontatása Hat szabadsági fok