Shift mátrix

Az eltolási mátrix (más néven eltolási mátrix ) egy bináris mátrix , amelyben egyesek csak a fő szuperdiagonálison vagy az alátlón találhatók , máshol pedig nullák. A szuperdiagonális egységekkel rendelkező U eltolási mátrixot felső eltolási mátrixnak nevezzük . A megfelelő L szubdiagonális mátrixot alsó eltolású mátrixnak nevezzük . Az ( i , j ) indexű U és L mátrixok komponensei alakja

U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},

hol van a Kronecker-delta szimbólum . $\delta _{{ij}}$

Például egy eltolás 5×5 mátrix

U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\0&0&0&0&1 \\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Nyilvánvaló, hogy egy alsó eltolású mátrix transzponálása felső eltolású mátrixot eredményez, és fordítva. Egy tetszőleges A mátrix bal oldaláról egy alacsonyabb eltolású mátrixszal történő szorzás az A mátrix elemeinek egy pozícióval lefelé tolásához vezet , és a kapott mátrix felső sora nullákkal van kitöltve. Egy tetszőleges A mátrix jobb oldali szorzása egy kisebb eltolódású mátrixszal balra tolódást eredményez egy pozícióval, a jobb oldali oszlopot nullákkal töltve ki. A felső eltolási mátrixot érintő hasonló műveletek ellentétes eltolódásokhoz vezetnek.

Minden eltolási mátrix nilpotens : az n×n mátrix S eltolása az n dimenziójával egyenlő hatványra egyenlő a nulla mátrixszal .

Tulajdonságok

Legyen L és U n ×n eltolási mátrix, alsó és felső. A következő tulajdonságok igazak mind az U , mind az L mátrixra (ezért csak U esetén soroljuk fel őket ):

Determináns det( U ) = 0 ( degeneráció );
Nyomkövetés tr( U ) = 0;
Rangrang ( U ) = n − 1
Az U mátrix karakterisztikus polinomjának alakja:

p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.

U n = 0 (nilpotencia). Ez a tulajdonság a Hamilton-Cayley tételből következik az előzőből .

Permanens per( U ) = 0.

A következő tulajdonságok azt mutatják, hogy az U és L mátrixok hogyan kapcsolódnak egymáshoz:

L T \ u003d U ; U T = L. _

Az U és L mátrixok magjai :

\operátornév {ker} (U)=\operátornév {span} \{(1,0,\ldots ,0)^{T}\},

\operátornév {ker} (L)=\operátornév {span} \{(0,\ldots ,0,1)^{T}\}.

Az U és L mátrixok spektruma nulla (azaz egyetlen sajátértékük van, és az egyenlő nullával): . Ennek a nullának az algebrai multiplicitása n , a geometriai multiplicitása pedig 1. A magokra vonatkozó kifejezésekből következik, hogy az U mátrix egyetlen (skálázásig) sajátvektorának alakja , az L mátrix egyetlen sajátvektorának pedig a forma $\{0\}$ $(1,0,\ldots ,0)^{T},$ $(0,\ldots ,0,1)^{T}.$

Az LU és UL termékekhez a következőket kínáljuk :

UL=I-\operátornév {diag} (0,\lpontok ,0,1),

LU=I-\operátornév {diag} (1,0,\lpontok ,0).

Mindkét mátrix idempotens , szimmetrikus , és ugyanolyan rangú, mint U és L.

L n − a U n − a + L a U a = U n − a L n − a + U a L a = I ( identitásmátrix ), bármely a 0-tól n - ig terjedő egész számra.

Példák

S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix));\quad A=&&{\begin{pmatrix\\\\\\3&1&1&1&1&2&1&1&1&1&2&1&1&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix) 1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.

Akkor: $SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&1\end{pmatrix));\quad AS=&&{\begin{pmatrix\\\\&1&2&0&1&2&1&2&1&1 2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.$

Nyilvánvaló, hogy sokféle permutáció létezik. Például a mátrix megfelel az A mátrix eltolódásának felfelé és balra a főátló mentén. $S^{T}AS$

S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmátrix)).

Lásd még

Nilpotens mátrix

Linkek

Shift Matrix – bejegyzés a Matrix Reference Manual-ban