Kolmogorov-féle illeszkedési kritérium

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2013. szeptember 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 21 szerkesztés szükséges .

A Kolmogorov -féle illeszkedési teszt célja annak a hipotézisnek a tesztelése, hogy a minta valamilyen eloszlási törvényhez tartozik, vagyis annak ellenőrzésére, hogy az empirikus eloszlás megfelel-e a várt modellnek .

A Szmirnov-féle homogenitási kritérium annak a hipotézisnek a tesztelésére szolgál, hogy két független minta ugyanahhoz az eloszlási törvényhez tartozik, azaz két empirikus eloszlás ugyanazon törvénynek felel meg .

Ezeket a kritériumokat Andrej Nyikolajevics Kolmogorov és Nyikolaj Vasziljevics Szmirnov matematikusokról nevezték el .

A két empirikus eloszlási törvény homogenitásának hipotézisének tesztelésére szolgáló Szmirnov-kritérium az egyik leggyakrabban használt nem paraméteres kritérium .

Leírás

Ha a kritérium $\chi ^{2}$ minden számjegyhez külön-külön két eloszlás gyakoriságát hasonlítja össze, akkor itt először az első számjegyre, majd az első és a második számjegy összegére, majd az első, második és harmadik számjegy összegére hasonlítják össze a gyakoriságokat, stb. Így minden alkalommal, amikor a felhalmozott erre a frekvenciatartományra.

Ha a két eloszlás közötti különbség szignifikáns, akkor egy ponton a halmozott gyakoriságok különbsége eléri a kritikus értéket, és az eltérések statisztikailag szignifikánsnak tekinthetők. Ezt a különbséget a kritériumképlet tartalmazza. Minél nagyobb az empirikus érték , annál jelentősebbek a különbségek. $\lambda$ $\lambda$

A Kolmogorov-teszt statisztikái

Legyen a mintára épülő tapasztalati eloszlásfüggvény (EDF) a következő: $F_{n}$ $X=\left(X_{1},\;\ldots ,\;X_{n}\right)$

F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{X_{i}\leqslant x},

ahol azt jelzi, hogy a megfigyelés a területre esett -e : ${\displaystyle I_{X_{i}\leqslant x))$ $X_{i}$ $(-\infty ,\;x]$

I_{X_{i}\leqslant x}={\begin{cases}1,&X_{i}\leqslant x;\\0,&X_{i}>x.\end{cases))

Ellenőrizzük, hogy a minta egy eloszlásfüggvénnyel generált valószínűségi változó -e . Az empirikus eloszlásfüggvény tesztstatisztikája a következőképpen definiálható: $\xi$ $F(x)$ $F_{n}(x)$

D_{n}=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|,

ahol by a függvény felső értéke . $\fel$ ${|F_{n}(x)-F(x)|}$

A Kolmogorov-statisztika megoszlása

Jelöljük a nullhipotézist úgy, mint azt a hipotézist, hogy a minta engedelmeskedik az eloszlásnak . Ekkor a Kolmogorov-tétel szerint a bevezetett statisztikákra igaz: $H_{0}$ $F(X)\in C^{1}(\mathbb {X} )$

\forall t>0\colon \lim _{n\to \infty }P({\sqrt {n}}D_{n}\leqslant t)=K(t)=\sum _{j=- \infty }^{+\infty }(-1)^{j}e^{-2j^{2}t^{2}}.

Figyelembe vesszük, hogy a kritériumnak van egy jobb oldali kritikus tartománya .

Döntéshozatal a Kolmogorov-kritérium szerint.
Ha a statisztika meghaladja az adott szignifikanciaszintű Kolmogorov-eloszlás százalékpontját , akkor a nullhipotézist ( a törvénynek való megfelelésről ) elvetjük. Ellenkező esetben a hipotézist a szinten elfogadjuk .

{\sqrt {n}}D_{n}

{\displaystyle K_{\alpha ))

\alpha

H_{0}

F(x)

\alpha

Ha elég közel van az 1-hez, akkor a következő képlettel közelíthető: $\alpha$ ${\displaystyle K_{\alpha ))$

K_{\alpha }\approx {\sqrt {-{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-\alpha }{2}}}}.

A teszt aszimptotikus hatványa 1.

Jelöljük most a nullhipotézist úgy, mint azt a hipotézist , hogy a két vizsgált minta a valószínűségi változó azonos eloszlását követi . $H_{0}$ $\xi \colon F(X)\in C^{1}(\mathbb {X} )$

Szmirnov tétele.
Legyenek független térfogat és valószínűségi változó mintákból összeállított empirikus eloszlásfüggvények . Akkor, ha , akkor , hol .

F_{1,\;n}(x),\;F_{2,\;m}(x)

n

m

\xi

F(x)\in C^{1}(\mathbb {X} )

\forall t>0\colon \lim _{n,\;m\to \infty }P\left({\sqrt {\frac {nm}{n+m))}D_{n,\; m}\leqslant t\right)=K(t)=\sum _{j=-\infty }^{+\infty }(-1)^{j}e^{-2j^{2}t^{ 2}}

D_{n,\;m}=\sup _{x}|F_{1,\;n}-F_{2,\;m}|

Szmirnov tétele lehetővé teszi számunkra, hogy kritériumot alkossunk két minta homogenitásának vizsgálatára.

Döntéshozatal a Szmirnov-kritérium szerint.
Ha a statisztika egy adott szignifikanciaszintre meghaladja a Kolmogorov-eloszlás kvantilisét , akkor a nullhipotézist ( a minták homogenitására vonatkozóan) elvetjük. Ellenkező esetben a hipotézist a szinten elfogadjuk .

{\displaystyle {\sqrt {\frac {nm}{n+m))}D_{n,\;m))

{\displaystyle K_{\alpha ))

\alpha

H_{0}

\alpha

Lásd még

1. megjegyzés

A Kolmogorov-kritériumban célszerű a Bolsev-korrekciós statisztikát használni a következő formában . Ezeknek a statisztikáknak az eloszlása már nem függ annyira a minta méretétől. Eloszlásának a mintanagyságtól való függése elhanyagolható -nál . ${\sqrt {n}}D_{n}+1/(6{\sqrt {n}})$ $n$ $n>25$

2. megjegyzés

A klasszikus Kolmogorov-teszt egyszerű hipotézisek tesztelésére szolgál . Ha azt a hipotézist teszteljük, hogy a megfigyelt minta egyezik-e a törvénnyel, amelynek minden paramétere ismert, akkor a Kolmogorov -kritérium eloszlásmentes : nem mindegy, hogy melyik törvénnyel ellenőrzik az egyezést. Ha a tesztelt hipotézis igaz, a Kolmogorov-statisztika korlátozó eloszlása a Kolmogorov-eloszlás . $K(t)$

Minden megváltozik az összetett hipotézisek tesztelésekor , amikor az elemzett minta kiértékeli annak az elméleti törvénynek a paramétereit, amellyel az egyezést ellenőrizzük. Összetett hipotézisek tesztelésekor a disztribúciós szabadság elveszik. Az összetett hipotézisek és a tesztelt hipotézis érvényességének tesztelésekor az illeszkedési tesztek nem-paraméteres jóságának statisztikáinak (és a Kolmogorov-próbának) eloszlása számos tényezőtől függ: a vizsgált hipotézisnek megfelelő megfigyelt törvény típusától; a kiértékelendő paraméter típusáról és a kiértékelendő paraméterek számáról; bizonyos esetekben egy adott paraméterértéken (például gamma- és béta-eloszlások családjainál); a paraméterbecslési módszerből. Az egyszerű és összetett hipotézisek tesztelésekor ugyanazon statisztikák határeloszlásai közötti különbségek olyan jelentősek, hogy semmiképpen sem szabad figyelmen kívül hagyni őket.