Pearson alkalmassági teszt

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Pearson-féle illeszkedési teszt vagy jó illeszkedési teszt (khi-négyzet) $\chi ^{2}$ egy nem paraméteres módszer, amely lehetővé teszi a tényleges (a vizsgálat eredményeként feltárt) kimenetelszám közötti különbségek jelentőségének felmérését, ill. az egyes kategóriákba tartozó minta minőségi jellemzői és a nullhipotézis igaza esetén a vizsgált csoportokban várható elméleti szám. Egyszerűbben fogalmazva, a módszer lehetővé teszi két vagy több relatív mutató (gyakoriság, részesedés) közötti különbségek statisztikai szignifikanciájának értékelését.

Ez a leggyakrabban használt kritérium annak a hipotézisnek a tesztelésére , hogy a megfigyelt mintanagyság valamilyen elméleti eloszlási törvényhez tartozik . $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $n$ $F(x,\theta )$

A kontingenciatáblázatok elemzésének khi-négyzet kritériumát a matematikai statisztika megalapítója, Karl Pearson angol tudós dolgozta ki és javasolta 1900-ban .

A kritérium az űrlap egyszerű hipotéziseinek tesztelésére használható

H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta ),

hol van az elméleti törvény paramétereinek ismert vektora, és az alak komplex hipotéziseinek tesztelésekor $\theta$

H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\},

amikor egy skaláris vagy vektoreloszlási paraméter becslését számítják ki ugyanazon a mintán. ${\kalap {\theta ))$ $F(x,\theta )$

Kritériumstatisztika

A hipotézisek típuskritériumokkal történő tesztelésének eljárása magában foglalja a megfigyelések csoportosítását. A valószínűségi változó definíciós tartományát határpontok nem metsző intervallumokra osztják $\chi ^{2}$ $k$

x_{(0)},x_{(1)},...,x_{(k-1)},x_{(k)},

ahol egy valószínűségi változó definíciós tartományának alsó korlátja; - felső él. $x_{(0)}$ $x_{(k)}$

Az adott partíciónak megfelelően kiszámításra kerül a th intervallumba eső mintaértékek száma és az intervallumba esés valószínűsége $n_{i}$ $én$

P_{i}(\theta )=F(x_{(i)},\theta )-F(x_{(i-1)},\theta ),

eloszlásfüggvényű elméleti törvénynek megfelelő $F(x,\theta ).$

Ahol

n=\összeg _{i=1}^{k}n_{i}

és

\sum _{i=1}^{k}P_{i}(\theta )=1.

Egy egyszerű hipotézis tesztelésekor mind a törvény formája, mind az összes paramétere ismert (a skaláris vagy vektorparaméter ismert ). $F(x,\theta )$ $\theta$

A típus illeszkedési tesztjeiben használt statisztikák a -tól való eltérések mérésén alapulnak . $\chi ^{2}$ $n_{i}/n$ $P_{i}(\theta )$

Az illeszkedési statisztika Pearson jóságát a reláció határozza meg $\chi ^{2}$

\chi ^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta )\right)^{ 2}}{P_{i}(\theta )}}.

Egy egyszerű hipotézis tesztelése esetén a határértékben ez a statisztika engedelmeskedik egy -szabadságfokozatú -eloszlásnak , ha a tesztelt hipotézis igaz . Az -eloszlás sűrűségét , amely a gamma eloszlás speciális esete, a képlet írja le $n\to\infty$ $\chi _{r}^{2}$ $r=k-1$ $H_{0}$ $\chi _{r}^{2}$

g(s)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}s^{r/2-1}e^{-s/2}.

A tesztelt hipotézist a statisztika nagy értékei esetén elvetjük, ha a mintából számított statisztika értéke nagyobb, mint a kritikus érték $H_{0}$ ${\displaystyle \chi _{n}^{2))$ $\chi _{r,\alpha }^{2},$

P\left(\chi _{n}^{2}>\chi _{r,\alpha }^{2}\right)={\frac {1}{2^{r/2}\ Gamma (r/2)}}\int _{\chi _{r,\alpha }^{2}}^{\infty }s^{r/2-1}e^{-s/2}ds

vagy az elért szignifikanciaszint ( p - érték ) kisebb, mint az adott szignifikanciaszint (az adott 1. típusú hiba valószínűsége ) . $\alpha$

Összetett hipotézisek tesztelése

Komplex hipotézisek tesztelésekor, ha a törvény paramétereit ugyanarra a mintára a statisztika minimalizálása vagy csoportosított minta esetén a maximum likelihood módszerrel becsüljük meg , akkor a statisztika , ha a tesztelt hipotézis igaz, egy -eloszlásnak engedelmeskedik szabadsági fok, ahol a mintából becsült paraméterek száma. $F(x,\theta )$ ${\displaystyle \chi _{n}^{2))$ ${\displaystyle \chi _{n}^{2))$ $\chi _{r}^{2}$ $r=km-1$ $m$

Ha a paramétereket az eredeti csoportosítatlan mintából becsüljük, akkor a statisztika eloszlása nem lesz -eloszlás [1] . Ezenkívül a statisztika eloszlása, ha a hipotézis igaz , a csoportosítás módszerétől függ, vagyis attól, hogy a definíciós tartományt hogyan osztják fel intervallumokra [2] . ${\displaystyle \chi _{km-1}^{2))$ $H_{0}$

A csoportosítatlan minta paramétereinek maximális valószínűségi módszerének becslésekor használhat módosított kritériumokat, például [3] [4] [5] [6] . $\chi ^{2}$

A kritérium erejéről

Az illeszkedési kritériumok alkalmazásakor általában nem állítanak fel egymással versengő hipotéziseket: a minta egy adott törvényhez tartozik, és versengő hipotézisként bármely más törvényt figyelembe vesznek. Természetesen a kritérium különböző módon képes megkülönböztetni a megfelelő törvénytől, a hozzá közeli vagy távoli törvényeket. Ha megadunk egy versengő hipotézist és a neki megfelelő versengő törvényt , akkor már kétféle hibáról beszélhetünk: nem csak az 1. típusú hibáról (a tesztelés alatt álló hipotézis elvetéséről, ha igaz), és annak valószínűségéről. erről a hibáról , hanem egy 2. típusú hibáról (nem elutasítás a méltányosság alatt ) és ennek a hiba valószínűségéről is . $H_{0}$ $H_{1}$ $F_{1}(x,\théta )$ $H_{0}$ $\alpha$ $H_{0}$ $H_{1}$ $\beta$

A kritérium erejét a versengő hipotézishez képest az érték jellemzi . Minél jobban felismeri a kritérium egy pár versengő hipotézist , és annál nagyobb a teljesítménye. $H_{1}$ $1-\béta$ $H_{0}$ $H_{1}$

A Pearson-féle illeszkedési teszt ereje jelentősen függ a csoportosítás módszerétől [7] [8] és a választott intervallumszámtól [8] [9] . $\chi ^{2}$

Aszimptotikusan optimális csoportosítás esetén, amely maximalizálja a Fisher információs mátrix különböző funkcióit a csoportosított adatok felett (minimalizálja a csoportosítással kapcsolatos veszteségeket), a Pearson-féle illeszkedési tesztnek van maximális ereje a „(nagyon) közeli” versengő hipotézisekhez képest . 10] [8] [9] . $\chi ^{2}$

Egyszerű hipotézisek tesztelésekor és aszimptotikusan optimális csoportosítás használatakor a Pearson-féle illeszkedési teszt előnyt jelent a nem paraméteres illeszkedési tesztekkel szemben. Komplex hipotézisek tesztelésekor a nemparaméteres kritériumok ereje nő, és nincs ilyen előny [11] [12] . Bármely versengő hipotézispár (versenyző törvény) esetén azonban az intervallumok számának és a valószínűségi változó definíciós tartományának intervallumokra való felosztásának módszerével maximalizálható a kritérium teljesítménye [13] . $\chi ^{2}$

Lásd még

Fisher pontos tesztje

Jegyzetek

↑ Chernoff H., Lehmann EL A maximum likelihood becslések használata a jó illeszkedési tesztben $\chi ^{2}$ // The Annals of Mathematical Statistics. - 1954. - 1. évf. 25 . - P. 579-586 .
↑ Lemeshko B. Yu., Postovalov S. N. A Pearson-statisztika korlátozó eloszlásának és a valószínűségi aránynak az adatok csoportosításának módszerétől való $\chi ^{2}$ függéséről // Industrial Laboratory. - 1998. - T. 64 , sz. 5 . - S. 56-63 . (Orosz)
↑ Nikulin M.S. Khi-négyzet teszt folyamatos eloszlásokhoz eltolási és skálaparaméterekkel // Valószínűségelmélet és alkalmazása. - 1973. - T. XVIII , sz. 3 . - S. 583-591 . (Orosz)
↑ Nikulin M.S. A folytonos eloszlások khi-négyzet kritériumáról // A valószínűség elmélete és alkalmazása. - 1973. - T. XVIII , sz. 3 . - S. 675-676 . (Orosz)
↑ Rao KC, Robson DS Khi-négyzet statisztika az exponenciális családon belüli illeszkedési tesztekhez // Commun. stat. - 1974. - 1. évf. 3 . - P. 1139-1153 .
↑ Greenwood PE, Nikulin MS Útmutató a khi-négyzet teszteléséhez . – New York: John Wiley & Sons, 1996. – 280 p.
↑ Lemeshko B. Yu. A megfigyelések aszimptotikusan optimális csoportosítása az illeszkedési kritériumok alapján // Gyári laboratórium. - 1998. - T. 64 , sz. 1 . - S. 56-64 . (Orosz)
↑ 1 2 3 R 50.1.033-2001. Javaslatok a szabványosításhoz. Alkalmazott statisztika. Szabályok a kísérleti eloszlás és az elméleti eloszlás egyezésének ellenőrzésére. I. rész Khi-négyzet tesztek . - M . : Szabványok Kiadója, 2006. - 87 p.
↑ 1 2 Lemeshko B. Yu., Chimitova E. V. Az intervallumok számának megválasztásáról a típusegyezési kritériumokban $\chi ^{2}$ // Gyári laboratórium. anyagdiagnosztika. - 2003. - T. 69 , sz. 1 . - S. 61-67 . (Orosz)
↑ Denisov V. I., Lemeshko B. Yu. Optimális csoportosítás a kísérleti adatok feldolgozásában // Mérési információs rendszerek. - Novoszibirszk, 1979. - S. 5-14.
↑ Lemeshko B. Yu., Lemeshko S. B., Postovalov S. N. Az illeszkedési tesztek erejének összehasonlító elemzése szorosan versengő hipotézisek mellett. I. Egyszerű hipotézisek tesztelése // Siberian Journal of Industrial Mathematics. - 2008. - T. 11 , sz. 2. cikk (34) bekezdése . - S. 96-111 . (Orosz)
↑ Lemeshko B. Yu., Lemeshko S. B., Postovalov S. N. Az illeszkedési tesztek erejének összehasonlító elemzése közeli alternatívákkal. II. Összetett hipotézisek tesztelése // Siberian Journal of Industrial Mathematics. - 2008. - T. 11 , sz. 4. cikk (36) bekezdése . - S. 78-93 . (Orosz)
↑ Lemeshko B. Yu., Lemeshko S. B., Postovalov S. N., Chimitova E. V. Statisztikai adatelemzés, modellezés és valószínűségi minták vizsgálata. Számítógépes megközelítés . - Novoszibirszk: NSTU Kiadó, 2011. - 888 p. – (Az NSTU monográfiái). — ISBN 978-5-7782-1590-0 . (Orosz)— 4.9. szakasz.

Irodalom

Kendall M., Stuart A. Statisztikai következtetések és összefüggések. - M .: Nauka, 1973.

Pearson alkalmassági teszt

Kritériumstatisztika

Összetett hipotézisek tesztelése

A kritérium erejéről

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom

Lásd még

Linkek