Kvázicsoport (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

A kvázi -csoport olyan magma , amelyben a hasadás mindig lehetséges . A csoporttal ellentétben a kvázicsoportnak nem kell asszociatívnak lennie [1] . Minden asszociatív kvázicsoport egy csoport.

Definíciók és tulajdonságok

A kvázicsoport egy pár ( Q , *) egy nem üres Q halmazból , bináris művelettel * : Q × Q → Q , amely teljesíti a következő feltételt: a Q bármely a és b eleméhez vannak egyedi x és y elemek a Q -ból. oly módon, hogy

a * x = b
y * a = b

Az egyenletek megoldásait néha a következőképpen írják le:

x = a \ b
y = b / a

A \ és / műveleteket bal osztásnak és jobbos osztásnak nevezzük .

Az egységgel rendelkező kvázicsoportot huroknak is nevezik (az angol ciklusból - ciklus).

Ha két Q és R kvázicsoport elemei között bijekció állítható fel (vagyis halmazként ekvivalensek ), akkor azt mondjuk, hogy Q és R azonos sorrendű. Ha ezen kívül vannak A, B, C permutációk , amelyek ezeknek a kvázicsoportoknak az elemeire hatnak úgy, hogy

( x , y ) = [ x A, y B]C

(itt (,) és [ , ] műveletek Q -ben és R -ben), akkor az ilyen kvázicsoportokat izotóposnak nevezzük .

Bármely kvázicsoporthoz létezik egy hurok, amellyel izotópos. Ha egy hurok izotóp egy csoporthoz, akkor ez a hurok egy csoport. Általánosabb esetben: ha egy félcsoport izotóp egy hurokhoz, akkor izomorf és mindkettő izomorf valamilyen csoportra. Izotópia , egyes esetekben[ mi? ] értelme, egyenértékű a csoportizomorfizmussal, de vannak olyan kvázicsoportok, amelyek izotópok, de nem izomorfak a csoportokkal.

Bármely latin négyzet a kvázicsoport szorzótáblája ( Cayley-tábla ).

Egy kvázicsoportot teljesen antiszimmetrikusnak nevezünk, ha még két tulajdonság teljesül [2] :

ha a kvázicsoportból néhány a és b esetén kiderült, hogy a * b = b * a , akkor a = b ;
ha a kvázicsoportból néhány a , b és c esetén kiderül , hogy ( a * b ) * c = ( a * c ) * b , akkor b = c .

2004-ben M. Damm példákat mutatott be teljesen antiszimmetrikus kvázicsoportokra, ami a 21. század jelentős matematikai vívmánya volt [2] .

Teljesen antiszimmetrikus kvázicsoportokat (Damm kvázicsoportokat) használnak a hibafelismerő kódokban ( Damm-algoritmus ) [2] .

Példák

Bármely csoport egyben kvázicsoport is, mivel a * x = b x = a −1 * b , y * a = b y = b * a −1 . $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$
A (-) kivonási művelettel rendelkező egész számok ( ) kvázicsoportok. $\mathbb {Z}$
A nullától eltérő racionális számok (vagy valós számok - ) az osztási művelettel (÷) kvázicsoportot alkotnak. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
A {±1, ±i, ±j, ±k} halmaz, ahol ii = jj = kk = +1 és az összes többi szorzat a kvaterniókhoz hasonlóan definiálva van, egy kvázicsoport azonossággal (hurokkal).
A valós számok mezője feletti tetszőleges vektortér az x * y = ( x + y ) / 2 művelethez képest egy idempotens kommutatív kvázicsoport szerkezetét alkotja .

Jegyzetek

↑ L. V. Sabinin, " Homogén terek és kvázicsoportok ", Izv. egyetemek. Mat., 1996, 7. szám, 77-84
↑ 1 2 3 Dmitrij Maksimov. Hibát felismerő kódok // Tudomány és élet . - 2018. - 1. sz . - S. 90-95 . (Orosz)

Irodalom

Belousov V. D. "A kvázicsoportok és hurkok elméletének alapjai" Archív másolat 2016. július 30-án a Wayback Machine -nél - M . : Nauka, 1967. - 224 p.
Sabinin LV Smooth kvázicsoportok és ciklusok (nem elérhető link) - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. - 257p
Sabinin L.V. Analitikus kvázicsoportok és geometria - M.: UDN, 1991. - 112p.
Sabinin L. V., Mikheev P. O. A sima Bol hurkok elmélete. - M .: UDN Kiadó, 1985. - 81s.
„Kvázicsoportok és hurkok” (51. szám). Valutse II (szerk.) és mások Tudományos közlemények gyűjteménye. Chisinau: Shtiintsa, 1979. - 168s.
Belousov V.D. Analitikai hálózatok és kvázicsoportok - Chisinau: Shtiintsa, 1971. - 168p.
Mikheev P. O., Sabinin L. V. Smooth quasigroups and geometry Archiválva : 2013. június 14. a Wayback Machine -nál . A tudomány és a technológia eredményei. Ser. Probl. geom., 20. kötet. - M.: VINITI, 1988. 75-110.]
Kurosh A.G. Általános algebra . Az 1969-1970-es tanév előadásai - M .: Nauka, 1974 . - 160-as évek. 5. és 6. bekezdés.
Galkin VM Quasigroups a papírgyűjteményben Algebra, topológia, geometria. 26. évfolyam, 1988. A tudomány és a technika eredményei. Ser. Algebra, topol., geom. 26. évfolyam M.: VINITI, 1988. S. 3-44.