Diszperziós törvény

A diszperziós törvény vagy a diszperziós reláció a hullámelméletben a hullámfrekvencia hullámvektortól való függésének függvénye :

\omega =\omega (\mathbf {k} )

Ennek a függőségnek a matematikai formáját, amely a hullám időbeli és térbeli periodicitása közötti kapcsolatot fejezi ki, a figyelembe vett rezgések és a terjedésük közeg tulajdonságai határozzák meg.

A diszperziós törvényből megkaphatjuk a hullám fázis- és csoportsebességeit :

\mathbf {v} _{\text{ph}}={\frac {\omega }{k}}\cdot {\frac {\mathbf {k} }{k)),\quad \mathbf { v} _{\text{gr}}={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}

A legegyszerűbb lineáris kapcsolat esetén ezek a sebességek is egybeesnek. $\omega$ $k$

A diszperziós törvények bármilyen jellegű hullámokra léteznek, beleértve az elektromágneses és rugalmas hullámokat is . A hullám-részecske kettősség fogalma lehetővé teszi, hogy ezt a törvényt a részecskékkel, például elektronokkal kapcsolatos de Broglie-hullámokra is írjuk.

Néha a diszperziós relációt függőségként adják meg

E=E(\mathbf {k} )

oszcillációs kvantum ( foton , fonon ) vagy részecske energiájára, ahol a Planck -Dirac állandó . $E=\hbar \omega$ $\hbar$

Hullámegyenlet és diszperzió

A klasszikus hullámegyenlet harmonikus megoldásában a fázissebesség nem függ a hullámszámtól. A közegben fellépő különféle hatások azonban további tagok megjelenéséhez vezethetnek a hullámok terjedését leíró differenciálegyenletben ebben a közegben. Ha egy harmonikus függvényt behelyettesítünk egy ilyen egyenletbe , láthatjuk, hogy ez még megoldás, de a frekvencia és a hullámszám közötti kapcsolat már nem lineáris, ami egyenértékű a fázissebesség hullámszámtól való függésével.

A diszperziós reláció megkeresése

A diszperziós viszonyok a médium különféle modelljeinek keretein belül számíthatók.

Kísérletileg nem közvetlenül mérik, hanem a hullámterjedés elemzése alapján kell meghatározni. Például egy elektromágneses hullám diszperziós törvénye egy bizonyos közegben meghatározható a törésmutató frekvenciafüggésének mérése alapján .

Példák különböző típusú hullámokra

A látható fény diszperziója az optikában

Diszperzió akkor következik be, ha a hullámterjedés fázissebessége függ a hullámszámától, ami akkor következik be, ha a diszperziós törvény nemlineáris. Azt a közeget, amelyben a diszperzió megtörténik, diszperziós vagy diszpergáló közegnek nevezzük . Az üveg egy ilyen közeg. Kimutatható, hogy az üvegben terjedő hullámok nemlineáris diszperziós összefüggése a törésmutatónak a hullámhossztól való függéséhez vezet .

Az üvegdiszperzió és a Snell-törvény lehetővé teszi, hogy a legegyszerűbb spektrális műszerként üvegprizmát használjunk (lásd a képet).

Atomok rugalmas rezgései egy láncban

Legyen egy egydimenziós lineáris lánc tömegű atomokból , a köztük lévő távolság . Mozgassuk el az atomot egy kis távolságra . Az eltérés kicsinysége miatt az atomok kölcsönhatási ereje kvázi rugalmas lesz. $m$ $d$ $n$ $ENSZ}$

A legközelebbi szomszédokat figyelembe véve a th atomra ható smla így írható fel $n$

F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{{n+1}})-\beta (u_{n}-u_{{n-1}})=\beta (u_{{n+ 1 }}-2u_{n}+u_{{n-1}}),

hol van egy együttható. Az atom mozgásegyenlete alakja $\beta$ $n$

ma_{n}=F_{n}\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1 }-2u_{n}+u_{n-1})

Megoldását a formában keressük , ahol a hullámszám, a const és a frekvencia. Akkor ${\displaystyle Ae^{i(kd-\omega t)))$ $k$ $A=\,$ $\omega$

-m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^ {2}(kd/2),

honnan származik:

\omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},\,\,

ahol .

\,\,\omega _{m}=2{\sqrt {\beta /m))

Ez a frekvencia függése a hullámszámtól, vagyis a diszperziós törvénytől egy monatomikus lánc esetében.

Az elektronok diszperziós törvényei

A szilárdtestfizikában a diszperziós törvény az elektron energiája és hullámvektora közötti kapcsolatot fejezi ki . Az ilyen függőségek meglehetősen összetettek lehetnek. Ezek alapján számítják ki egy elektron effektív tömegét különböző kvantumállapotokban.

A félvezetőkben a vezetési sáv minimumához közeli elektronenergia-tartományban a diszperziós reláció gyakran megismétli a vákuum esetére vonatkozó kifejezést, de a szabad elektron effektív tömegétől eltérő: $E$ $E_{c}$ $m^{*}$

E=E_{c}+\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}

Az energia növekedésével azonban a kifejezés jelentősen módosul.

Lásd még

Hullámszórás

Jegyzetek

Irodalom

Stefan A. Tau. Lineáris hullámok diszperziós közegben // Nemlineáris hullámok . — M.: Mir, 1977.