Delta potenciál a kvantummechanikában

A deltapotenciál a kvantummechanikában egy részecske potenciális energiaprofiljának általános neve , amelyet a Dirac-delta függvény kifejezései adnak meg . Az ilyen profilok azt a fizikai helyzetet modellezik, amikor a potenciál nagyon szűk és éles maximumai vagy minimumai vannak.

Az ilyen profilok egyszerű példái a delta alakú alagút akadály és a delta alakú kvantumkút . Felvetődik a kérdés egy részecske transzmissziós együtthatójával , valamint a kötött állapotok létezésével és energiáival kapcsolatban. $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda$ $\cdot$ $\cdot$ $x$ $m$

A legtöbb esetben, amikor egy részecske viselkedését vizsgáljuk, az egydimenziós stacionárius Schrödinger-egyenletre keresünk megoldást a megfelelő potenciállal. Általában azt feltételezik, hogy a részecske csak az irány mentén mozog , és nincs mozgás a merőleges síkban . $x$ $yz$

Megközelítés a Schrödinger-egyenlet megoldásához

A hullámfüggvény stacionárius egydimenziós Schrödinger-egyenlete a következőképpen alakul $\psi(x)$

{\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+U(x)\jobbra]\psi (x)=E\psi (x)

ahol a Hamilton , a Planck -állandó , a részecske összenergiája, és . Miután ezt az egyenletet egy nullához közeli keskeny szakaszon integráltuk ${\kalap {H}}$ $\hbar$ $E$ $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }U(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx,\quad \epsilon \rightarrow 0

sikerül

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)\ \right)+{\ frac {\lambda }{m}}\psi (0)=0

Nagy ikonok és a sorompótól vagy gödörtől balra és jobbra eső területeket jelölik ( angolul balra, jobbra ). A pontban a hullámfüggvény folytonossági feltételének teljesülnie kell $_{L}$ $_{R}$ $x=0$

\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)

és a valószínűségi fluxussűrűség folytonossági feltétele

{\frac {d\psi _{L}}{dx}}(0)={\frac {d\psi _{R}}{dx}}(0)-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}(0)

Ez a két feltétel attól függetlenül releváns, hogy delta alakú gátról vagy kútról beszélünk, és (kútnál) az is, hogy az energiaérték nagyobb vagy kisebb, mint nulla (sorompónál ez a lehetőség nem lehetséges). $E$ $E<0$

Átviteli és reflexiós együtthatók

Ebben a részben feltételezzük, hogy , és figyelembe vesszük egy részecske áthaladását egy gáton vagy egy kúton. $E>0$

Egy sorompó vagy gödör két részre osztja a teret ( ). Mindkét területen a Schrödinger-egyenlet megoldása síkhullámok, és ezek szuperpozíciójaként írhatók fel : $x<0,\,\,x>0$

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

hol van a hullámvektor . Kis indexek és az együtthatók és jelzik a hullámvektor irányát jobbra és balra. Az együtthatók közötti kapcsolat az előző szakasz végén található feltételekből és az előző rész végén található: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $r$ $l$ $A$ $B$ $\psi$ $\psi'$ $x=0$

{\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l))

ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\dfrac {2\lambda }{\hbar ^{2))}\left(B_{r }+B_{l}\jobbra)

Hagyja, hogy a beeső részecske balról közelítse meg a gátat ( és ), akkor a visszaverődés és az áthaladás valószínűségét meghatározó és együtthatók a következő alakúak: $A_{r}=1$ $B_{l}=0$ $A_{l}=r$ $B_{r}=t$

t={\frac {1}{{\frac {i\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1)),\qquad r={\frac {1}{{\frac { i\hbar ^{2}k}{\lambda }}-1}}

Klasszikus esetben egy véges energiájú részecske nem tudja leküzdeni a végtelen potenciálgátat, és garantáltan áthalad a kúton. A kvantummegközelítéssel más a helyzet: az átviteli és reflexiós együtthatók igen $E>0$

T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2)){\hbar ^{4}k^{2))))}= {\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

{\displaystyle R=|r|^{2}=1-T={\frac {1}{1+{\frac {\hbar ^{4}k^{2}}{\lambda ^{2}} ))}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2)))))))

Egyszerre három, klasszikus szempontból váratlan eredmény van. Először is, van egy nem nulla áthaladási valószínűség (átviteli együttható ) egy végtelenül magas akadályhoz. Másodszor, mivel a képlet teljesen alkalmazható negatívra , a pitvar feletti áthaladás valószínűsége különbözik az egységtől. Harmadszor, az érték nem változik az előjel megváltoztatásakor , vagyis annak a valószínűsége, hogy egy részecske energiával alagútba jut a gáton, és áthalad a kút feletti kúton, azonos számú. $\lambda$ $T$ $\lambda$ $E$

Diszkrét állapot delta alakú kútban

Ebben a részben feltételezzük, hogy , és csak a lyukat ( ) vesszük figyelembe, vagyis a benne lévő részecske diszkrét állapotának energiáját határozzuk meg. $E<0$ $\lambda <0$

Mindkét régióban a Schrödinger-egyenlet megoldása, mint fent, felírható exponenciálisok összegeként

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

ahol . De most ez egy képzeletbeli érték, ezért csak azokat a kitevőket szabad meghagyni a rekordban, amelyek plusz és mínusz végtelenséggel csökkennek, nem növekednek: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $k$

\psi _{L}(x)=A_{l}e^{-ikx}=A_{l}e^{|k|x},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}=B_{r}e^{-|k|x},\quad x>0

A és a következő feltételekből, és már figyelembe véve ezt a követelményt, . Innen $\psi$ $\psi'$ $x=0$ ${\displaystyle A_{l}=B_{r))$ ${\displaystyle |k|=-\lambda /\hbar ^{2))$

E_{level}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}

vagyis egy delta alakú kútban pontosan egy szint van az írott energiával.

A delta modell gyakorlati jelentősége

A deltapotenciálon keresztül történő alagút helyzete az alagút szélessége és magassága téglalap alakú akadályon való áthaladásának határesete , amelyben a nullára és a k -ra való hajlam oly módon történik, hogy a szorzat állandó és egyenlő valamilyen állandóval . $a$ $V$ $a$ $V$ $+\infty$ $V\cdot a$ $g=\lambda /m$

A deltaszerű gáton való alagútvezetés problémája a kvantummechanika szabványos modellprobléma. Felmerül például két vezető tartomány közötti áramátadás leírásakor, amelyek találkozásánál spontán vékony oxidfilm képződik. Ha a film vastagsága és kémiai összetétele megközelítőleg ismert, akkor téglalap vagy trapéz alakú gátmodell használható. Bizonyos esetekben azonban az egyetlen kiút a deltapotenciál modell alkalmazása.

Hasonlóan a delta kút problémájához: a modell durva közelítésként használható. Az érték illeszkedési paraméterként szolgál mind a sorompónál, mind a kútnál. $\lambda$

Irodalom

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 4. kiadás. - M .: Nauka , 1989 . — 768 p. - ("Elméleti fizika", III. kötet). - ISBN 5-02-014421-5 .

A kvantummechanika modelljei
Egydimenziós , pörgés nélkül	szabad részecske Gödör végtelen falakkal Téglalap alakú kvantumkút delta potenciál Háromszög alakú kvantumkút Harmonikus oszcillátor Potenciális lépcsőfok Pöschl-Teller potenciál kút Módosított Pöschl-Teller potenciál kút Részecske periodikus potenciálban Dirac potenciálfésű Részecske a gyűrűben
Többdimenziós pörgés nélkül	köroszcillátor Hidrogén molekula ion Szimmetrikus felső Gömbszimmetrikus potenciálok Woods-Szász potenciál Kepler problémája Yukawa potenciál Morse potenciál Hulthen potenciál Kratzer molekuláris potenciálja Exponenciális potenciál
Beleértve a pörgetést	hidrogénatom Hidrid ion hélium atom