Egy csoport ciklusgrafikonja szemlélteti a csoport különböző ciklusait , és különösen kis véges csoportok szerkezetének megjelenítésére szolgál .
A ciklus a csoport egy a elemének hatványainak halmaza , ahol a n , az a elem n - edik hatványa a és önmagának n - szeres szorzataként van definiálva . Az a elemről azt mondják, hogy ciklust generál . Egy véges csoportban az a elem valamely nullától eltérő hatványának egyenlőnek kell lennie az e semleges (identitás) elemmel . A legkisebb ilyen fokozatot sorrendnek nevezzük . ciklus, és egyenlő a ciklus különböző elemeinek számával. A ciklusok gráfján a ciklust egy sokszög ábrázolja, amelyben a csúcsok a csoport elemeit tükrözik, a csúcsokat összekötő élek pedig azt jelzik, hogy a sokszög csúcsai ugyanannak a ciklusnak a tagjai.
A ciklusok átfedhetik egymást, vagy egyetlen elem kivételével nincs közös elemük. A ciklusgrafikon minden ciklust sokszögként ábrázol.
Ha a 6-os rendű ciklust generál (vagy rövidebben 6 - os rendű), akkor a 6 = e . Ebben az esetben az a 2 , { a 2 , a 4 , e } elem négyzetének fokai ciklust alkotnak, de a valóságban ez a tény nem ad további információt. Hasonlóképpen, egy 5 ugyanazt a ciklust generálja, mint maga .
Így csak az egyszerű ciklusokat kell figyelembe venni, nevezetesen azokat, amelyek nem részei más ciklusoknak. Ezen ciklusok mindegyikét valamilyen egyszerű a elem generálja . Vegyünk egy csúcsot az eredeti csoport minden eleméhez. Minden prímelemnél e élt a -ra , a -t a 2 -re , ..., a n −1 -et a n -re stb., amíg ismét e -t nem kapunk . Az eredmény egy ciklusgrafikon lesz.
Ha a 2 = e , akkor a 2- es rendű ( involúció ), és két éllel kapcsolódik az e azonosságelemhez. Kivéve, ha egy ciklus két élét szeretné kiemelni, általában csak egy él rajzolódik ki [1] .
Dih 4 kaleidoszkóp piros tükörrel és 4x forgásgenerátorral |
A Dih 4 diédercsoport ciklusgráfja . |
A csoportciklus-gráf példájaként vegyük a Dih 4 diédercsoportot . Ennek a csoportnak a szorzótáblája az alábbiakban látható, a ciklusgrafikon pedig a jobb oldali ábrán ( e az identitáselemet mutatja).
| o | e | b | a | a 2 | a 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | b | a | a 2 | a 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
| b | b | e | a 3 b | a 2 b | ab | a 3 | a 2 | a |
| a | a | ab | a 2 | a 3 | e | a 2 b | a 3 b | b |
| a 2 | a 2 | a 2 b | a 3 | e | a | a 3 b | b | ab |
| a 3 | a 3 | a 3 b | e | a | a 2 | b | ab | a 2 b |
| ab | ab | a | b | a 3 b | a 2 b | e | a 3 | a 2 |
| a 2 b | a 2 b | a 2 | ab | b | a 3 b | a | e | a 3 |
| a 3 b | a 3 b | a 3 | a 2 b | ab | b | a 2 | a | e |
Figyeljünk az e , a , a 2 , a 3 ciklusra . A táblázatban a következő hatványokként látható . A hátramenet is megfelelő. Más szavakkal, ( a 3 ) 2 = a 2 , ( a 3 ) 3 = a és ( a 3 ) 4 = e . Ez a viselkedés bármely csoport bármely ciklusában igaz – a ciklus bármely irányban bejárható.
A nem elsődleges elemértékeket tartalmazó hurkok implicit módon tartalmaznak olyan ciklusokat, amelyek nem láthatók a grafikonon. A fenti Dih 4 csoporthoz húzhatunk élt a 2 és e közé, mert ( a 2 ) 2 = e , de a 2 egy nagyobb ciklus része, így az él nem rajzolódik meg.
Kétértelműség állhat fenn, ha két ciklus olyan elemet tartalmaz, amely nem egyetlen elem. Tekintsük például a kvaterniócsoportot , amelynek ciklusgrafikonja a jobb oldalon látható. A középső sor minden eleme önmagával megszorozva -1-et ad. Ebben az esetben különböző színeket használhatunk a ciklusok tükrözésére, bár egy egyszerű szimmetriakonvenció is jól működik.
Mint korábban említettük, a kételemes ciklus két élét általában egyetlen él ábrázolja.
Az inverz elem a ciklusgráfban a következőképpen található: az egységtől azonos távolságra, de ellentétes irányú elem.
A ciklusgráfokat Daniel Shanks számelméleti szakértő az 1950-es évek elején tekintette a maradékgyűrűk multiplikatív csoportjainak tanulmányozására szolgáló eszköznek [2] . Shanks először a Solved and Unsolved Problems in Number Theory [ 3] című könyvének első kiadásában (1962) tette közzé az ötletet . A könyvben Shanks azt vizsgálja, hogy mely csoportok rendelkeznek izomorf ciklusgráfokkal, és mikor síkbeli a ciklusgráf [4] . A második kiadásban (1978) Shanks az ideális osztálycsoportokkal kapcsolatos kutatásait, valamint a nagy és kis lépéses algoritmusok fejlesztését tárgyalja [5] :
A ciklusgráfok hasznosnak bizonyultak az Abel-csoportok kezelésekor, és gyakran használtam őket összetett szerkezetük megértésére [77, 852. o.], többszörös kapcsolat létrehozására [78, 426. o.] vagy bizonyos alcsoportok megkülönböztetésére [79].
A ciklusgráfokat tanítási eszközként használják Nathan Carter (2009) Vizuális csoportelmélet című bevezető tankönyvében [ 6] .
Egyes csoportok tipikus grafikonokkal rendelkeznek:
A Z n n rendű ciklikus csoportoknak egyetlen ciklusuk van, amely n oldalú sokszögként rajzolható meg :
| Z1_ _ | Z 2 = Dih 1 | Z3_ _ | Z4_ _ | Z5_ _ | Z 6 \u003d Z 3 × Z 2 | Z7_ _ | Z8_ _ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z9_ _ | Z 10 \u003d Z 5 × Z 2 | Z11_ _ | Z 12 \u003d Z 4 × Z 3 | Z13_ _ | Z 14 \u003d Z 7 × Z 2 | Z 15 \u003d Z 5 × Z 3 | Z16_ _ |
| Z17_ _ | Z 18 \u003d Z 9 × Z 2 | Z19_ _ | Z 20 = Z 5 × Z 4 | Z 21 \u003d Z 7 × Z 3 | Z 22 \u003d Z 11 × Z 2 | Z23_ _ | Z 24 \u003d Z 8 × Z 3 |
| Z2_ _ | Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 \u003d Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 |
|---|
Ha n egy prímszám , akkor a (Z n ) m alakú csoportoknak ( n m − 1)/( n − 1) n hosszúságú ciklusuk van közös azonossági elemmel:
| Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 \u003d Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 | Z 3 2 |
|---|
A Dih n diédercsoportok 2 n rendűek, és n hosszúságú ciklusból és n 2 elemű ciklusból állnak:
| Dih 1 = Z 2 | Dih 2 = Z 2 2 | Dih 3 | Dih 4 | Dih 5 | Dih 6 = Dih 3 × Z 2 | Dih 7 | Dih 8 | Dih 9 | Dih 10 = Dih 5 × Z 2 |
|---|
A kétgyűrűs csoportok , Dic n = Q 4n sorrendje 4 n :
| Dic 2 = Q 8 | Dic 3 = Q 12 | Dic 4 = Q 16 | Dic 5 = Q 20 | Dic 6 = Q 24 |
|---|
Egyéb közvetlen munkák :
| Z4 × Z2_ _ | Z 4 × Z 2 2 | Z6 × Z2_ _ | Z8 × Z2_ _ | Z 4 2 |
|---|
Az S n szimmetrikus csoport bármely n rendű csoporthoz tartalmaz egy ezzel a csoporttal izomorf részcsoportot, így bármely n rendű csoport ciklusgráfja megtalálható az S n ciklusgráf részgráfjaként .
Lásd a példát: Az S 4 csoport alcsoportjai .
| S 4 × Z 2 | A 4 × Z 2 | Dih 4 × Z 2 | S 3 × Z 2 |
A teljes oktaéderes csoport az S 4 szimmetrikus csoport és a Z 2 ciklusos csoport.
A csoport 48-as sorrendű, és bármely 48-as rendű alcsoportot tartalmaz.
Az alábbi példákban az egymáshoz kapcsolódó csúcsok egymás mellett helyezkednek el,
így a bemutatott ciklusgráfok nem ezeknek a csoportoknak a legegyszerűbb gráfjai (hasonlítsa össze a szakasz elején ugyanazon csoportok ciklusgráfjaival).
| S 4 × Z 2 (48-as sorrend) | A 4 × Z 2 (24-es sorrend) | Dih 4 × Z 2 (16-os sorrend) | S 3 × Z 2 = Dih 6 (12-es sorrend) |
|---|---|---|---|
| S 4 (24-es rendelés) | A 4 (12-es rendelés) | Dih 4 (8-as rendelés) | S 3 = Dih 3 (6-os sorrend) |
Mint minden más grafikon, a ciklusdiagramok is sokféle módon ábrázolhatók, hogy hangsúlyozzák a különböző tulajdonságokat. Az S 4 csoport két ciklusgráf-ábrázolása egy példa erre.
| A fenti S 4 ciklusgrafikonja három Dih 4 alcsoport jelenlétét hangsúlyozza . | ||
| Ez a két ábrázolás azt a szimmetriát hangsúlyozza, amely a jobb oldali halmazok megfordításában látható. | ||