Ellipszis Steiner

Létezik egyetlen affin transzformáció , amely egy szabályos háromszöget egy adott háromszöggé alakít. A szabályos háromszög beírt körének képe egy ilyen transzformáció alatt egy ellipszis , amelyet Steiner-ellipszisnek neveznek, és a körülírt kör képe szintén ellipszis, amelyet Steiner körülírt ellipszisnek neveznek .

A beírt Steiner-ellipszis definíciója

Egy háromszögbe végtelen számú ellipszis írható be .
Mindazonáltal egyetlen ellipszis beírható egy olyan háromszögbe , amely az oldalakat a felezőpontjukban érinti. Az ilyen ellipszist beírt Steiner-ellipszisnek nevezzük . Perspektívája az [1] háromszög súlypontja lesz .
A kúp perspektívájának meghatározását (beleértve a kúp-ellipszist is) lásd alább.

A körülírt Steiner-ellipszis definíciója

Egy háromszög körül végtelen számú ellipszist írhatunk körül .
Azonban egyetlen ellipszis is leírható egy háromszög közelében , amely érinti a csúcsokon átmenő és az oldalakkal párhuzamos egyeneseket. Az ilyen ellipszist körülírt Steiner-ellipszisnek nevezzük .
A leírt Steiner-ellipszis fókuszait Skutin-pontoknak nevezzük .
A leírt Steiner-ellipszis gócain ( Skutin - pontok ) áthúzott Cevians egyenlőek ( Skutin-tétel ).

A Steiner-ellipszis affin transzformációja

Ha affin transzformációval ("ferdítés") egy tetszőleges léptékű háromszöget szabályos háromszöggé fordítunk , akkor a beírt és körülírt Steiner-ellipszisei beírt és körülírt körökké válnak .

A kúp perspektívájának meghatározása

Egy háromszögbe végtelenül sok kúp ( ellipszis , parabola vagy hiperbola ) írható.
Ha egy tetszőleges kúpot írunk egy háromszögbe , és az érintkezési pontok egymással ellentétes csúcsokkal vannak összekötve, akkor a kapott vonalak egy pontban metszik egymást, ezt a kúp perspektívájának nevezzük .
A sík bármely olyan pontjához, amely nem fekszik az egyik oldalon vagy annak meghosszabbításán, van egy perspektivikus , beírt kúp ebben a pontban [2] .

Tulajdonságok

A beírt Steiner-ellipszis területe a legnagyobb az adott háromszögbe írt ellipszisek közül, a körülírt ellipszis pedig a legkisebb területű az összes leírt közül [3] .
A beírt Steiner -ellipszis egy háromszögbe írt ellipszis, amely az oldalait érinti a felezőpontokban .

( Marden tétele ) A Steiner-beírt ellipszis fókuszpontjai egy harmadfokú polinom extrém pontjai, amelyek a komplex síkban lévő háromszög csúcsaiban gyökereznek.
A háromszögbe írt parabolák perspektívái a körülírt Steiner-ellipszisen fekszenek [4] . A beírt parabola fókusza a körülírt körön van , a direktrix pedig az ortocentrumon halad át [5] . Az Euler-egyenes irányítószámú háromszögbe írt parabolát Kiepert- parabolának nevezzük . Perspektívája a körülírt kör és a körülírt Steiner-ellipszis negyedik metszéspontja , amelyet Steiner-pontnak neveznek .

Jegyzetek

↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - 54. o.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - S. 108.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - 55. o.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - 110. o.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - S. 27-28.