Exponenciális

Az exponenciális a halmazelmélet függvénykészletének kategóriaelméleti analógja . Azokat a kategóriákat, amelyekben véges határok és exponenciálisok léteznek, derékszögű zártnak nevezzük .

Definíció

Legyenek bináris termékek a kategóriában . Ekkor az exponenciális egy univerzális morfizmusként definiálható egy függvénytől a -ig . (A -tól- ig függvény egy objektumot leképez a -ra , a morfizmusokat pedig -re ). $C$ $Z^{Y}$ $[-]\times Y$ $Z$ $[-]\times Y$ $C$ $C$ $x$ $X \x Y$ $\varphi$ $\varphi \times \mathrm {id} _{Y}$

Pontosabban, az objektumok exponenciálisa és olyan objektum, a kiértékelő térképnek nevezett morfizmussal együtt , hogy minden objektumhoz és morfizmushoz létezik egy egyedi morfizmus , amelyre a következő diagram kommutatív: $Z^{Y}$ $Z$ $Y$ $eval\colon Z^{Y}\x Y\-Z$ $x$ $g\kettőspont X\szorozza Y\-t Z-ig$ $\lambda g\colon X\ to Z^{Y}$

Ha az exponenciális létezik az all in -re, akkor a -nek küldő függvény a megfelelő duálisa . Ebben az esetben van egy természetes bijekció: $Z^{Y}$ $Z$ $C$ $Z$ $Z^{Y}$ $[-]\times Y$

\mathrm {Hom} (X\x Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})

Példák

A halmazok kategóriájában az exponenciális az összes függvény halmaza tól -ig ( kardinális hatvány ). Bármilyen leképezésnél a leképezés a curried formában történik : $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $g\kettőspont (X\x Y)\jobbra Z$ $\lambda g\colon X\ to Z^{Y}$ $g$

\lambda g(x)(y)=g(x,y)

A topológiai terek kategóriájában exponenciális létezik, ha lokálisan kompakt Hausdorff tér . Ebben az esetben a folytonos függvények halmaza től ig a kompakt nyitott topológiával . Ha nem lokálisan kompakt Hausdorff-tér, akkor lehet, hogy az exponenciális nem létezik (a tér létezik, de a leképezés már nem folyamatos). Emiatt a topológiai terek kategóriája nem derékszögű zárt . $Z^{Y}$ $Y$ $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $Y$ $Z^{Y}$ $\lambda$

Irodalom

Goldblatt R. Topoi. A logika kategorikus elemzése = Topoi. A logika kategoriális elemzése / Per. angolról. V. N. Grishin és V. V. Shokurov, szerk. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 p.
McLane S. Kategóriák a dolgozó matematikusnak / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. Absztrakt és konkrét kategóriák (A macskák öröme ) . – John Wiley & Sons , 2006.