Pisot számok

A Pisot-szám [1] [2] (vagy a Pisot–Vijayaraghavan-szám [3] [4] vagy a PV-szám ) bármely egynél nagyobb algebrai egész szám , amelynek minden konjugátumának modulusa szigorúan kisebb egynél. Ezeket a számokat Axel Thue fedezte fel 1912-ben [5] , 1919- től Godfrey Hardy tanulmányozta diofantin közelítésekkel [6] , de Charles Pisot disszertációjának 1938-as [7] megjelenése után váltak híressé . A kutatást Thirukkannapuram Vijayaraghavan és Raphael Salem folytatta az 1940-es években.

A Salem számok szorosan összefüggenek a Pisot- számokkal : ez olyan szám, hogy az összes konjugátum modulja nem nagyobb 1-nél, és van köztük egy egység.

Tulajdonságok

Minél nagyobb a PV-szám természetes kitevője, ez a fok annál inkább megközelíti az egész számot. Piso bebizonyította, hogy a nem egész pozitív algebrai számok közül, amelyek modulusa 1-nél nagyobb, ez a tulajdonság kivételes a PV-számok esetében: ha egy valós szám olyan, hogy a hatványaitól az egész számok halmazától mért távolságok sorozata [8] a következőhöz tartozik: $\alpha >1$ $\|\alpha ^{n}\|$ $l_{2}$ [ pontosítás ] , akkor egy Pisot-szám (és különösen egy algebrai). $\alpha$ $\alpha$

A legkisebb Pisot-szám a köbegyenlet egyetlen valódi gyöke , amelyet plasztikus számként ismerünk . [2] $x^{3}-x-1=0$

Másodfokú irracionalitások , amelyek Pisot-számok:

Jelentése	polinom	Numerikus érték
${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-x-1$	1,618034… ( aranymetszés )
$1+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-2x-1$	2.414214… ( ezüst rész )
${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-3x+1$	2,618034… A104457
$1+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-2x-2$	2,732051… A090388
${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	$x^{2}-3x-1$	3.302776… A098316 ( bronz metszet )
$2+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-4x+2$	3,414214…
${\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}$	$x^{2}-3x-2$	3.561553.. A178255 .
$2+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-4x+1$	3,732051… A019973
${\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}$	$x^{2}-3x-3$	3,791288… A090458
$2+{\sqrt {5}}$	$x^{2}-4x-1$	4.236068… A098317

Jegyzetek

↑ A. Egorov. Pisot számok // Kvant . - 2005. - 5. sz . - S. 8-13 .
A. Egorov. Pisot számok (vége) // Kvant . - 2005. - 6. sz . - S. 9-13 .
↑ 12 Terr , David; Weisstein, Eric W. Pisot szám (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ V. N. Beresztovszkij, Yu. G. Nikonorov. Folyamatos törtek, a GL(2,Z) csoport és a Pisot-számok // Matematicheskie trudy. - 2007. - T. 10 , 1. sz . – 97–131 .
↑ J. W. S. Cassels . Bevezetés a diofantin közelítések elméletébe. – 1961.
↑ Axel Thue, "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, p. 1-15.
↑ Godfrey H. Hardy, "A diofantin közelítés problémája", Journal Ind. Math. Soc., vol. 11, 1919, pp. 205-243.
↑ Charles Pisot, " La repartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. norma. Szuper. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205-248.
↑ Itt jelöli a távolságot -tól -ig , azaz ahol a szám tört része . $\|a\|$ $a$ $\mathbb {Z}$ $\min(\{a\},1-\{a\})$ ${\displaystyle \{a\))$ $a$

Algebrai számok
Fajták	Algebrai egész számok Csebisev csomópontok Konstruktív számok Eisenstein egésze Gauss-egészek Kummer gyűrű Perron számok Piso-Vijayaraghavan számok Kvadratikus irracionalitás ℚ Gyökerek az egységből Salem számok
Különleges	Conway állandó 3 √ 2 φ δS_ _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2