Félszög érintő képlet

A félszög képlet érintője egy trigonometrikus képlet, amely a félszög érintőjét a teljes szög trigonometrikus függvényeihez viszonyítja :

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta } {\sin \theta }}=(-1)^{k}{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta )),

ahol és a feltételből határozzák meg . $k\in \mathbb {Z}$ $k\pi \leq \theta \leq (k+1)\pi$

A következő összefüggések is kapcsolódnak ehhez a képlethez:

{\begin{aligned}\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2))\ &={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta )),\\[10pt]\operátornév {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\ sec \theta +\operátornév {tg} \theta ={\frac {1+\operatorname {tg} (\theta /2)}{1-\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1 )^{k}{\sqrt {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}},\\[10pt]\mathrm {ctg} \left({\frac {\theta } {2}}+{\frac {\pi }{4}}\jobbra)&=\sec \theta -\operátornév {tg} \theta ={\frac {1-\operatorname {tg} (\theta /2 )}{1+\operátornév {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }} }.\end{igazított}}

Az utolsó két kifejezésben , és a feltétel határozza meg . $k\in \mathbb {Z}$ $\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi \leq \theta \leq \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\pi$

Amikor nálunk van: $\theta \in \left(-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right)$ $\operátornév {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operátornév {tg} \theta }{1+{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2} \theta }}}}.$

Geometriai bizonyítás

Univerzális trigonometrikus helyettesítés

Különféle alkalmazásokban hasznos trigonometrikus függvényeket (például szinusz és koszinusz ) felírni egy új t változó racionális függvényeként, amely egyenlő a félszög érintőjével. Ezek az identitások hasznosak az antiderivátumok kiszámításában .

A félszög érintőjének képlete azon a tényen alapul, hogy a kör egy 2-es rendű algebrai görbe . Ezért azt várnánk, hogy a „körfüggvények” racionális függvényekre redukálhatók.

A geometriai konstrukciók így néznek ki: egy trigonometrikus körre tetszőleges koordinátájú pontra (cos φ, sin φ) rajzolunk egy egyenest, amely átmegy a körön és a (−1,0) koordinátájú ponton. Ez az egyenes egy ponton metszi az y tengelyt ( y - tengely ) y = t koordinátával . Egyszerű geometriai konstrukciókkal kimutatható, hogy t = tg(φ/2). A húzott egyenes egyenlete y = (1 + x ) t . A megadott egyenes és a kör metszéspontjainak meghatározására szolgáló egyenlet egy másodfokú egyenlet t -ben . Ennek az egyenletnek a két megoldása (−1, 0) és (cos φ, sin φ). Ez lehetővé teszi, hogy (cos φ, sin φ) t racionális függvényeiként írjuk fel (a megoldásokat alább közöljük).

Vegyük észre azt is, hogy a t paraméter a pont (cos φ, sin φ) sztereografikus vetülete az y tengelyre úgy , hogy a vetületi középpont a (−1,0) pontban van. Ezért a félszög érintőjének képlete megadja az átmenetet a t sztereográfiai koordinátáról a trigonometrikus körre és a φ standard szögkoordinátára.

Nekünk van

$\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$		$\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$
$\operatorname {tg} \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$		$\operatorname {ctg} \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t)),$
$\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t)),$

és

e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it)),

e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it)).

Ezekből a képletekből az arctangens a természetes logaritmussal fejezhető ki

\operatorname {arctg} (t)={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.

A sin( φ ) és cos( φ ) tartalmú függvények antideriváltjainak megtalálásakor a Weierstrass-helyettesítés így néz ki. Fogadás

t=\operátornév {tg} {\tfrac {1}{2}}\varphi .

kapunk

\varphi =2\operátornév {arctg} (t),

és ezért

d\varphi ={{2\,dt} \{1+t^{2}}} felett.

Hiperbolikus identitások

Teljesen hasonló levezetéseket kaphatunk hiperbolikus függvényekre . A hiperbola egy pontját (jobb ágán) a koordináták határozzák meg (ch θ , sh θ ). A középpontból (-1, 0) az y tengelyre vetítve a következőket kapjuk:

t=\operátornév {th} {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\operátornév {sh} \theta }{\operátornév {ch} \theta +1}}={\ frac {\operatorname {ch} \theta -1}{\operatorname {sh} \theta }}

majd a hiperbolikus függvények azonosságai

$\operatorname {ch} \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\operatorname {sh} \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$
$\operatorname {th} \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$		$\operatorname {cth} \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t)),$
$\mathrm {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$		$\mathrm {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t)),$

és

e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t)),

e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t)).

Ezeknek a szubsztitúcióknak az antiszármazékok keresésére való használatát Karl Weierstrass vezette be .

Ha θ - t t -ben fejezzük ki, a következő összefüggések jönnek létre a hiperbolikus arctangens és a természetes logaritmus között :

\operatorname {arth} (t)={\frac {1}{2))\ln {\frac {1+t}{1-t)).

Lásd még

Linkek

Félszög érintője a Planetmathnál