Öt elem képlet (gömbgeometria)

Az öt elem képlete a gömbi trigonometriában egy gömbháromszög öt eleme közötti kapcsolatot fejezi ki [1] .

Leírás

A háromszög különböző szögeihez és oldalaihoz tartozó öt elem teljes alapképletkészlete két csoportra osztható:

• Három oldalra és két szögre vonatkozó képletek, más néven egy oldal szinuszának és egy szög koszinuszának képletei . Íme az egyik közülük [2] :

• Három szögre és két oldalra vonatkozó képletek, más néven egy szög szinuszának és egy oldal koszinuszának képlete . Az egyik így néz ki:

Egy oldal szinuszának egy szög koszinuszához való képletében az oldalt és a vele szomszédos szöget a másik két oldallal és a köztük lévő szöggel fejezzük ki. Minden oldalra a két szomszédos szög közül egy vehető, így összesen hat ilyen képlet létezik.

Az oldal koszinuszával bezárt szög szinuszának képletében az oldal és a vele szomszédos szög a másik két szöggel és a velük szomszédos oldallal van kifejezve. Hat ilyen képlet is létezik.

Egy szög szinuszának minden képlete egy oldal koszinuszával duál az oldal szinuszának egyik képletével egy szög koszinuszával, mivel bármely gömbháromszög szögei és oldalai kiegészülnek egy kidolgozott szöggel a megfelelő poláris háromszög oldalai és szögei . Ezért elegendő csak egy oldal szinuszának és egy szög koszinuszának képleteit bizonyítani. Ezenkívül az egyik befogott szög koszinuszához tartozó oldal szinuszának és egy másik bezárt szög koszinuszának ugyanazon oldalának szinuszának két képletét pontosan ugyanúgy kapjuk meg. És ebből a két képletből az oldal szinuszának és a szög koszinuszának fennmaradó négy képletét a betűk körkörös permutációjával kapjuk meg:

Így elegendő egy oldal szinuszának egyik képletét egy szög koszinuszára igazolni.

Bizonyítás

A bizonyítást vetületek [1] segítségével végezzük . Az ábrán egy ABC gömb alakú háromszög látható egy R sugarú gömbön, amelynek középpontja O′ . BP merőleges a b oldalon átmenő nagykör síkjára , BM merőleges az OC -ra , BN merőleges az OA -ra . A három merőleges tétel fordítottja szerint PM az OC -re merőleges , PN pedig az OA -ra merőleges . Figyeljük meg, hogy az MPN szög b, ezenkívül BM = R sin a, BN = R sin c és OM = R cos a. Ezután a NOMP szaggatott vonalat vetítjük az NP -t tartalmazó vonalra .

Az utolsó négy kifejezést behelyettesítjük az elsőbe, és a következőt kapjuk:

Alkalmazás

Az öt elem képletét a gömbi trigonometria néhány más képletével együtt alkalmazva például képleteket kaphatunk az égi koordinátarendszerek közötti átváltáshoz : vízszintes , ekvatoriális, ekliptikus és galaktikus [3] .

Történelem

Az öt elem képletét Leonhard Euler vezette le a 18. században [4] .

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 Sztepanov N.N. Öt elem képlete // Szférikus trigonometria . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  32 -35. — 154 p.
2. ↑ Spherical Trigonometry archiválva 2021. február 28-án a Wayback Machine -nél a MathWorld webhelyen
3. ↑ Csevics V.P. Mit és hogyan figyeljünk meg az égen. - 6. kiadás - M . : Nauka , 1984. - S. 68-74. — 304 p.
4. ↑ Szférikus trigonometria // Nagy Szovjet Enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.