Larmor képlet

A Larmor-képletet a nem-relativisztikus ponttöltés által kibocsátott teljes teljesítmény kiszámítására használják gyorsulás közben . Először Joseph Larmor szerezte meg 1897-ben [1] a fény hullámelmélete keretében .

Ha bármely töltött részecske (például elektron , proton vagy ion ) felgyorsul, az energia elektromágneses hullámok formájában sugárzik ki . A fénysebességhez képest kicsi részecskesebességek esetén a teljes kisugárzott teljesítményt Larmor képlete adja meg:

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\pont {v}}{c} }\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\ frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}

( SI mértékegység )

{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3))))

( CGS egységek )

ahol vagy a gyorsulás, a töltés, a fénysebesség, az elektromos állandó . A relativisztikus általánosítást a Lienard-Wiechert potenciálok adják . ${\pont {v))$ $a$ $q$ $c$ $\varepsilon _{0}$

Bármely egységrendszerben egy elektron által kisugárzott teljesítmény kifejezhető az elektron klasszikus sugarával és az elektron tömegével:

P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}

Ennek egyik következménye az, hogy az atommag körül keringő elektronnak, mint a Bohr-modellben , energiát kell veszítenie, az atommagra kell esnie, és az atomnak össze kell esnie. Ezt a rejtvényt a kvantummechanika megalkotásáig nem oldották meg .

Következtetés

A Lienard-Wiechert potenciálképlet segítségével a mozgó töltés elektromos és mágneses mezője a következőképpen írható fel:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta ))}{\gamma ^{2}(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\jobbra)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}} \left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}

és

\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,

ahol a töltési sebesség osztva -vel , a töltésgyorsulás osztva c -vel , az irányegységvektor , a sugárvektor-különbség modulusa, a töltési sugárvektor és a . A jobb oldali kifejezések kiértékelése késleltetési időben . ${\boldsymbol {\beta ))$ $c$ ${\displaystyle {\pont {\boldsymbol {\beta ))))$ $\mathbf {n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0))$ $R$ $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|$ $\mathbf {r} _{0}$ ${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2))$ $t_{\text{r}}=tR/c$

A jobb oldal a töltött részecske sebességéhez és gyorsulásához kapcsolódó elektromos mezők összege. Az első tag csak a -tól függ, a második pedig mindkettőtől és a köztük lévő szögtől. Mivel az első tag arányos -vel , abszolút értéke nagyon gyorsan csökken a távolsággal. Másrészt a második tag arányos -vel , ami azt jelenti, hogy abszolút értéke sokkal lassabban csökken a távolsággal. Emiatt a második tag a sugárzási mező, és a gyorsuló töltés energiaveszteségének nagy részéért felelős. ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\displaystyle {\pont {\boldsymbol {\beta ))))$ $1/R^{2}$ $1/R$

A sugárzás energiaáram- sűrűségét a Poynting-vektor kiszámításával találhatjuk meg :

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},

ahol az "a" alsó index azt hangsúlyozza, hogy a Lienard-Wiechert képletből csak a második tagot vesszük át. Feltételezve, hogy a részecske időben nyugalomban van [2] , a következőt kapjuk: $t_{\text{r))$

\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\ pont {\boldsymbol {\beta }}}}}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .

Ha bevezetjük - a gyorsulás és a megfigyelési vektor és a gyorsulás közötti szöget , akkor az egységnyi térszögre kisugárzott teljesítmény egyenlő $\theta$ $\mathbf {a} ={\pont {\boldsymbol {\beta ))}c$

d P d Ω = q 2 négy π c bűn 2 ⁡ ( θ ) a 2 c 2 . {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.}

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.

A teljes kisugárzott teljesítményt úgy kapjuk meg, hogy ezt a mennyiséget integráljuk az összes térszögre (vagyis felett és ). Ez ad $\theta$ $\phi$

P = 2 3 q 2 a 2 c 3 , {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},

amely a Larmor-képlet egy nemrelativisztikus gyorsított töltésre. A részecske által kibocsátott teljesítményt a gyorsulásához viszonyítja. Ebből egyértelműen látszik, hogy minél gyorsabban gyorsul a töltés, annál nagyobb lesz a sugárzás. Ez várható is, mivel a sugárzási tér a gyorsulástól függ.

Relativisztikus általánosítás

Kovariáns forma

A p impulzussal felírt nemrelativisztikus Larmor-formula a következő formában van (CGS egységekben) [3]

P = 2 3 q 2 m 2 c 3 | p ˙ | 2 . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\pont {\mathbf {p}} } } |^{2}.}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\pont {\mathbf {p}} } } |^{2}.

A P teljesítmény Lorentz-invariánsnak tekinthető . Ezért a Larmor-formula bármely relativisztikus általánosításának P -t valamilyen más Lorentz-invariáns mennyiséghez kell kapcsolnia. A nem-relativisztikus képletben előforduló képlet azt sugallja, hogy a relativisztikusan helyes képletnek tartalmaznia kell az a μ = dp μ / d τ 4-gyorsulás pontszorzatának önmagával való vételével kapott 4-skalárt (itt p μ = (γ mc , γ m v ) − 4-impulzus ). A Larmor-képlet helyes relativisztikus általánosítása (CGS-egységekben) $|{\pont {\mathbf {p} }}|^{2}$

$P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{ d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.$

Kimutatható, hogy ezt a konvolúciót a kifejezés határozza meg

d p μ d τ d p μ d τ = β 2 ( d p d τ ) 2 − ( d p d τ ) 2 , {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\jobbra)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\jobbra)^{2},} ${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\jobbra)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\jobbra)^{2},$

és ezért a β ≪ 1 határértékben redukálódik -re, ezáltal reprodukálja a nemrelativisztikus esetet. $-|{\pont {\mathbf {p} }}|^{2}$

Nem kovariáns forma

A fenti konvolúció β -val és annak időbeli deriváltjával is felírható . Ezután a Larmor-képlet relativisztikus általánosítása (cgs egységekben)

$P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\pont {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\ félkövér szimbólum {\beta }}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].$

Ez Lienard eredménye , amelyet először 1898-ban értek el. azt jelenti, hogy amikor a Lorentz-tényező nagyon közel van az egységhez (azaz ), akkor a részecske által kibocsátott sugárzás elhanyagolható. Azonban ahogy , a sugárzás növekszik, ahogy növekszik, ahogy a részecske elektromágneses hullámok formájában elveszíti energiáját. Ezen túlmenően, ha a gyorsulás és a sebesség merőleges, akkor a teljesítmény -kal csökken , azaz az együttható . Minél gyorsabban mozog a részecske, annál nagyobb lesz ez az összehúzódás. $\gamma ^{6}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2))))$ $\beta \ll 1$ $\beta \rightarrow 1$ $\gamma ^{6}$ ${\displaystyle 1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2))$ $\gamma ^{6}$ $\gamma ^{4}$

Jegyzetek

↑ Larmor J (1897). „LXIII. A spektrumokra gyakorolt mágneses hatás elméletéről; és a mozgó ionok sugárzásáról” . Filozófiai Magazin . 5. 44 (271): 503-512. DOI : 10.1080/14786449708621095 . Archiválva az eredetiből, ekkor: 2022-01-24 . Letöltve: 2022-01-24 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )A képlet az utolsó oldalon található szövegben szerepel.
↑ az az eset, amikor nehezebb. Áttekinti például a Griffiths, 2017-ben . $\beta \left(t_{\text{r))\right)\neq 0$
↑ Jackson, 1965 .

Irodalom

J. Larmor, "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) pp. 205-300 (A harmadik és utolsó az azonos című cikksorozatban).
J. Jackson. Klasszikus elektrodinamika / I. G. Nakhimson. - Moszkva, 1. Riga sáv, 2: Mir , 1965. - S. 212, 510.
Misner, Charles. Gravitáció / Misner, Charles, Thorne, Kip S., Wheeler, John Archibald. - San Francisco: W.H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
R. P. Feynman . Feynman Lectures on Gravitation / R. P. Feynman , F. B. Moringo, W. G. Wagner. - Addison-Wesley, 1995. - ISBN 0-201-62734-5 .
Griffiths, David J. Bevezetés az elektrodinamikába . — 4. - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1-108-42041-9 . - doi : 10.1017/9781108333511 .