Formális megkülönböztetés

A formális differenciálás egy polinomok gyűrűjének vagy formális hatványsor gyűrűjének elemein végzett művelet, amely matematikai elemzésből származtatva ismétlődik , de nem a határ fogalmán alapul , amely tetszőleges gyűrűre nem definiálható . A derivált számos tulajdonsága igaz a formális differenciálásra is, de néhány, különösen a számokat tartalmazó állításokra vonatkozó, nem igaz. A formális differenciálás egyik fontos alkalmazása az algebrában a polinomok gyökeinek multiplicitásának ellenőrzése.

Definíció

A formális differenciálás definíciója a következő: fix egy gyűrűt (nem feltétlenül kommutatív), legyen polinomi gyűrű a felett . Ekkor a formális differenciálás az elemekre irányuló cselekvés , amelyben ha $R$ $A=R[x]$ $R$ $A$

f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},

akkor a formális derivált az

{\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1))

mint a valós vagy komplex számok feletti polinomok esetében.

Figyeljük meg, hogy a kifejezés nem a gyűrűben való szorzást jelenti, hanem ott, ahol nem az összegjel alatt használjuk. $na_{n}$ $\sum _{k=1}^{n}a_{n},$ $k$

Megjegyzendő, hogy a nem kommutatív gyűrűk esetében ez a definíció a következő nehézségekbe ütközik: maga a képlet helyes, de nem minden polinom ábrázolható szabványos formában. Egy ilyen meghatározás használata nehézségekhez vezet a képlet bizonyítása során . $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b$

A nem kommutatív gyűrűkre alkalmas alternatív definíciók

Legyen igaz , Határozzuk meg az és típusú kifejezések deriváltját is $r\in R$ $r'=0,$ $x'=1.$ $(a+b)'=a'+b',$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$

Bizonyítsuk be, hogy egy ilyen definíció ugyanazt az eredményt adja a kifejezésre, függetlenül attól, hogy milyen módon kapjuk, ezért a definíció kompatibilis az egyenlőség axiómáival.

$(a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',$
$((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+( b+c)'=(a+(b+c))',$
$(a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=$

=(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',

$((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b 'c)+(ac'+bc')=$

=\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac ')+(b'c+bc')=

=(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'.

A definícióból a linearitás következik.

A polinom deriváltjának képlete (a kommutatív gyűrűk szabványos alakjában) a definíció következménye: $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_ {i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1 }^{i}x^{j-1}(x')x^{ij}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i -egy}.$

Tulajdonságok

A következő állítások közül számos bizonyítható.

A formális differenciálás lineáris: tetszőleges két polinomra és abból származó elemre $f(x),g(x)$ $r,s$ $R$

(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).

Ha nem kommutatív, akkor van egy másik fajta linearitási tulajdonság, amelyben és a jobb oldalon találhatók. Ha a képletben nincs azonosságelem, akkor a képlet nem redukálódik polinomok összegének alakjára vagy egy polinom és egy másik polinom többszörösének összegére.

R

r

s

R

A formális megkülönböztetéshez a termékszabály teljesül :

(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

Figyeljük meg a tényezők sorrendjének fontosságát nem kommutatív gyűrű esetén .

R

A két adott tulajdonság egy algebra származékává teszi . $D$ $A$

Alkalmazás

A derivált lehetővé teszi több gyök jelenlétének meghatározását: ha mezőről van szó, akkor euklideszi gyűrűről van szó , amelyre definiálható a gyökérmultiplicitás fogalma; egy polinomhoz és egy onnan származó elemhez létezik egy nemnegatív egész és egy polinom , $R$ $R[x]$ $f(x)$ $r$ $R$ $úr}$ $g(x)$

f(x)=(xr)^{m_{r}}g(x),

ahol nem ugyanaz . A fok gyökként mutatja a multiplicitást . A szorzatszabályból következik, hogy egyben a differenciálási művelet azon alkalmazásainak száma is, amelyek addig hajthatók végre, amíg az meg nem szűnik a maradék polinom gyöke lenni. Annak ellenére, hogy nem minden in fokszámú polinomnak van gyöke, a multiplicitást figyelembe véve (ez csak a maximális szám), tovább bővítheti azt a mezőt , amelyben ez az állítás igaz (lásd algebrai lezárás ). A mező kiterjesztésére való átlépés után több olyan gyökér is lehet, amelyek nem a gyökér felett vannak . Például, ha három elemű mező, akkor a polinom $g(r)$ $0$ $úr}$ $r$ $f$ $úr}$ $f(x)$ $r$ $n$ $R[x]$ $n$ $R$ $R$

f(x)\,=\,x^{6}+1

nincs gyökere a ; de a formális derivált nulla, mivel 3 = 0 -ban és bármely kiterjesztésében , így az algebrai lezárásra való átlépéskor olyan többszörös gyöket fogunk találni, amely nem található benne . Ezért a formális differenciálással meghatározott multiplicitás fogalma hatékonyan igazolható. Ez különösen fontosnak bizonyul a Galois-elméletben , lehetővé téve az elkülöníthető és az elválaszthatatlan mezőbővítések megkülönböztetését. $R$ $R$ $R$ $R$

Analitikus származékos levelezés

Ha a számok gyűrűje kommutatív, akkor a formális deriváltnak van egy másik ekvivalens definíciója, amely emlékeztet az elemzésből származó definícióra. A gyűrű egy eleme osztója bármely nem-negatív egész számnak , ezért osztója bármely polinomnak . Jelöljük a hányadost (in ) így : $R$ $YX$ $R[X,Y]$ $Y^{n}-X^{n}$ $n$ $f(Y)-f(X)$ $f$ $R[X,Y]$ $g$

g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{YX)),

akkor könnyen bebizonyítható, hogy (in ) egybeesik a derivált fent megadott formális definíciójával. $g(X,X)$ $R[X]$ $f$

A derivált ilyen definíciója alkalmas formális hatványsorokhoz, feltéve, hogy a skaláris gyűrű kommutatív.

Jegyzetek

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (3. felülvizsgált kiadás), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556, Zbl 0984.00001
Michael Livshits, Egyszerűsíthetnéd a számítást, arXiv:0905.3611v1