Brocard pont

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. június 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

Brocard pont
Egy háromszög Brocard-pontja , három kör metszéspontjaként $P$ $\háromszög ABC$
baricentrikus koordináták	${\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{b^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}}}$
Trilineáris koordináták	${\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}$
ECT kód	X(76)
Összekapcsolt pontok
izotómiailag konjugált	Lemoine pont

A Brokar-pont a háromszögön belüli két pont egyike, amelyek a háromszög csúcsait összekötő szakaszok metszéspontjában keletkeznek az ehhez a háromszöghöz hasonló és annak oldalaira épített háromszögek megfelelő szabad csúcsaival. A háromszög figyelemreméltó pontjainak tekinthetők , segítségükkel számos háromszöggeometrikus objektum épül meg (köztük a Brocard-kör , a Brocard- háromszög , a Neuberg-kör ).

Henri Brocard francia meteorológus és geométer nevéhez fűződik , aki 1875 -ben ismertette a pontokat és azok felépítését, de korábban is ismerték, különösen August Crelle német matematikus és építész egyik 2008-ban megjelent munkájában épültek fel . 1816 .

A Triangle Centers enciklopédiájában Brocard első pontját a következővel azonosítják: . $X(39)$

Definíció

Egy olyan háromszögben , amelynek oldalai , , és a csúcsokkal ellentétesek , és , csak egy olyan pont van , amely a , és az oldalakkal azonos szöget zár be , és : . A pontot a háromszög első Brocard-pontjának, a szöget pedig a háromszög Brocard- szögének nevezzük . $\háromszög ABC$ $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$ $P$ $AP$ $BP$ $CP$ $\omega$ $c$ $a$ $b$ $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$ $P$ $\háromszög ABC$ $\omega$

A Brocard-szög esetében a következő azonosság érvényes: . A Brocard-szögre a következő Yiff-egyenlőtlenség érvényes : , ahol a kívánt háromszög szögei [1] . $\omega$ $\mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\angle BAC+\mathrm {ctg} \,\angle ABC+\mathrm {ctg} \,\angle ACB$ $\omega$ $8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma$ $\alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB$

A háromszögnek van egy második Brocard-pontja is , így a , és az oldalakkal azonos szöget zárnak be , illetve : . A második Brocard -pont izogonálisan konjugált az első Brocard-ponttal, vagyis a szög egyenlő a szöggel . $\háromszög ABC$ $K$ $AQ$ $BQ$ $CQ$ $b$ $c$ $a$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$

A két Brocard-pont szorosan összefügg egymással, a különbség a háromszög szögeinek számozási sorrendjében van, így például egy háromszög első Brocard-pontja egybeesik egy háromszög második Brocard-pontjával. . $\háromszög ABC$ $\triangle ACB$

Épület

A Brocard-pontok leghíresebb konstrukciója a következőképpen szerkesztett körök metszéspontjában található: mert a pontokon keresztül egy kört húzunk, amely érinti az oldalt (ennek a körnek a középpontja abban a pontban van, amely a körfelező merőleges metszéspontjában van oldal , amelyen az egyenes átmegy és merőleges ); hasonló módon egy kört szerkesztenek a pontokon keresztül és az oldalt érintve ; a harmadik kör a pontokon és és oldalt érintően halad át . Ennek a három körnek van egy közös metszéspontja, amely a háromszög első Brocard-pontja . A második Brocard-pont is hasonló módon épül fel - körök készülnek: átmenő és érintő ; keresztül és , megérintve ; keresztül és megérintve . $\háromszög ABC$ $A$ $B$ $időszámításunk előtt$ $AB$ $B$ $időszámításunk előtt$ $B$ $C$ $AC$ $A$ $C$ $AB$ $\háromszög ABC$ $A$ $B$ $AC$ $B$ $C$ $AB$ $A$ $C$ $időszámításunk előtt$

Tulajdonságok

Az első és a második Brocard-pont homogén trilineáris koordinátái : és . Így a baricentrikus koordinátáik, illetve [2] ill $c/b:a/c:b/a$ $b/c:c/a:a/b$ $c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}$ $a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.$

A Brocard-pontok a Brocard-körön fekszenek – egy olyan körön, amely a körülírt kör középpontját a Lemoine-ponttal összekötő szakaszon átmérőben van felépítve . Tartalmazza az első két Brocard-háromszög csúcsait is. A Brocard pontok izogonálisan konjugáltak.

Brocard pontja egyike annak a háromszögnek a 2 pontjának, amelynek a háromszög három csúcsánál mért három oldalával egyenlő szögeket zárnak be.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Michiel Hazewinkel. Matematikai Enciklopédia, III. melléklet . — Springer Science & Business Media, 2001.12.31. - S. 83. - 564 p. — ISBN 9781402001987 .
↑ Scott, JA "Néhány példa a területi koordináták használatára a háromszöggeometriában", Mathematical Gazette 83, 1999. november, 472-477.

Irodalom

S. I. Zetel . Új háromszög geometria. - M . : Uchpedgiz, 1940. - S. 81-89. — 96 p.
Akopyan, A. V. & Zaslavsky, A. A. (2007), Geometry of Conics , vol. 26, Mathematical World, American Mathematical Society , p. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9
Honsberger, Ross (1995), 10. fejezet. The Brocard Points, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , Washington, DC: The Mathematical Association of America
Prasolov V. V. Brocard pontok és izogonális konjugáció ("Matematikai oktatás" könyvtár" sorozat). M.: MTSNMO, 2000. 24 p.
Yakovlev IV Matematikai anyagok. Izogonális konjugáció. P. 5-6// https://mathus.ru/math/isogonal.pdf