Goursat tetraéder

A Goursat -tetraéder a Wythoff-konstrukció tetraéderes alapterülete . A tetraéder minden lapja egy tükrös hipersíkot képvisel egy 3 dimenziós felületen - 3 gömb , euklideszi 3 dimenziós tér és hiperbolikus 3 dimenziós tér. Coxeter a területet Édouard Goursról nevezte el , aki először hívta fel a figyelmet ezekre a területekre. A Goursat-tetraéder a Schwartz-háromszögek elméletének kiterjesztése a Wythoff gömbön való megkonstruálására.

Grafikus ábrázolás

A Goursat-tetraéder grafikusan ábrázolható egy tetraéder gráf segítségével, amely az alapvető tartomány kettős konfigurációja tetraéderként. Ezen a grafikonon minden csomópont a Goursat-tetraéder egy-egy lapját (tükrét) képviseli. Minden él egy racionális számmal van ellátva, amely megfelel a tükrözési sorrendnek, ami ⁄ diéderszög .

A 4 csúcsú Coxeter-Dynkin diagram ezeket a tetraéderes gráfokat ábrázolja rejtett másodrendű élekkel. Ha sok él 2-es rendű, akkor a Coxeter csoport zárójeles jelöléssel ábrázolható .

Egy Goursat-tetraéder létezéséhez a gráf 3 csúcsú részgráfjainak (pqr), (pus), (qtu) és (rst) meg kell felelniük egy Schwartz-háromszögnek .

Külső szimmetria

A Goursat-tetraéder kiterjesztett szimmetriája a Coxeter- szimmetriacsoport és a szimmetria alapvető tartományának (jelen esetben a Goursat-tetraéder) félig közvetlen szorzata . Coxeter jelölés ezt a szimmetriát beágyazott zárójelként támogatja, mint például az [Y[X]], ami az [X] szimmetria teljes Coxeter-csoportját jelenti, Y pedig a Goursat-tetraéder szimmetria. Ha Y tiszta tükörszimmetria, a csoport egy másik Coxeter-reflexió-csoportot képvisel. Ha csak egy egyszerű megkettőzési szimmetria van, Y kifejezhető explicit módon, például [[X]] tükör- vagy forgásszimmetriával, a kontextustól függően.

Az egyes Goursat-tetraéderek kiterjesztett szimmetriája az alábbiakban látható. A lehető legnagyobb szimmetria a szabályos tetraéderen , [3,3], és a prizmatikus pontcsoporton [2,2,2] vagy [2 [3,3] ], valamint a parakompakt hiperbolikus csoporton érhető el [ 3 [3,3] ].

Lásd a tetraéderszimmetriákat a 7 alacsony rendű tetraéderszimmetriához.

Megoldások teljes száma

A következő szakaszok a Goursat tetraéder megoldások teljes készletét mutatják be a 3 gömb, az euklideszi 3 tér és a hiperbolikus 3 tér számára. Az egyes tetraéderek kiterjesztett szimmetriája is feltüntetésre kerül.

Az alábbi színes tetraéder diagramok az egyes szimmetriacsaládokból származó csonka poliéderek és méhsejt csúcsalakjai . Az élcímkék a sokszöglapok sorrendjét képviselik, amelyek kétszerese a Coxeter-gráf elágazási sorrendjének. A 2n jelű él diéderszöge . A 4-gyel jelölt sárga élek a Coxeter-diagram (összefüggetlen) tükreinek (csomópontjainak) derékszögéből származnak.

(Véges) megoldások a 3-gömbön

Megoldások 1 sűrűségű 3 gömbhöz : ( egységes poliéder )

Coxeter csoport és diagram	[2,2,2]	[p,2,2]	[p,2,q]	[p,2,p]	[3,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Szimmetria csoportsorrend	16	8p _	4pq _	4p2 _ _	48	96	240
A tetraéder szimmetriái	[3,3] (24-es sorrend)	[2] (4. sorrend)	[2] (4. sorrend)	[2 + ,4] (8-as sorrend)	[ ] (2. sorrend)	[ ] + (1. sorrend)	[ ] + (1. sorrend)
Kiterjesztett szimmetriák	[(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3]	[2[p,2,2]] =[2p,2,4]	[2[p,2,q]] =[2p,2,2q]	[(2 + ,4)[p,2,p]] =[2 + [2p,2,2p]]	[1[3,3,2]] =[4,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
A kiterjesztett szimmetriacsoportok sorrendje	384	32p _	16 pq _	32p2 _ _	96	96	240

Grafikon típusa	Lineáris				Háromlevelű
Coxeter csoport és diagram	Öt cella [3,3,3]	Tizenhat cella [4,3,3]	Huszonnégy cellás [ 3,4,3 ] [ ]]	600 cella [ 5,3,3 ] [5,3,3]	Semitesseract [3 1,1,1 ]
Csonka egységes poliéderek csúcsalakja
Tetraéder
Szimmetria csoportsorrend	120	384	1152	14400	192
Tetraéder szimmetria	[2] + (2. sorrend)	[ ] + (1. sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[ ] + (1. sorrend)	[3] (6. sorrend)
Kiterjesztett szimmetria	[2 + [3,3,3]]	[4,3,3]	[2 + [3,4,3]]	[5,3,3]	[3[3 1,1,1 ]] =[3,4,3]
A kiterjesztett szimmetriacsoport sorrendje	240	384	2304	14400	1152

Megoldások euklideszi 3-térben

1. sűrűségű megoldások: Konvex egységes méhsejt :

Grafikon típusa	Lineáris	Háromlevelű	Gyűrű	Prizma alakú			elfajzott
Coxeter csoport Coxeter diagram	[4,3,4	[4.3 1.1 ]	[3 [4] ]	[4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3] ,2]	[∞,2,∞]
Teljesen csonka lépek csúcsalakja
Tetraéder
Tetraéder szimmetria	[2] + (2. sorrend)	[ ] (2. sorrend)	[2 + ,4] (8-as sorrend)	[ ] (2. sorrend)	[ ] + (1. sorrend)	[3] (6. sorrend)	[2 + ,4] (8-as sorrend)
Kiterjesztett szimmetria	[(2 + )[4,3,4]]	[1[4,3 1,1 ]] =[4,3,4]	[(2 + ,4)[3 [4] ]] =[2 + [4,3,4]]	[1[4,4,2]] =[4,4,2]	[6,3,2]	[3[3 [3] ,2]] =[3,6,2]	[(2 + ,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]]

Megoldások hiperbolikus 3 szóközökhöz

1. sűrűségű megoldások: ( Konvex homogén lépek hiperbolikus térben ) ( Kompakt (Lanner egyszerű csoportok) )

Grafikon típusa	Lineáris			Háromlevelű
Coxeter csoport Coxeter diagram	[3,5,3]	[5,3,4]	[5,3,5]	[5,3 1,1 ]
Teljesen csonka lépek csúcsalakjai
Tetraéder
Tetraéder szimmetria	[2] + (2. sorrend)	[ ] + (1. sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[ ] (2. sorrend)
Kiterjesztett szimmetria	[2 + [3,5,3]]	[5,3,4]	[2 + [5,3,5]]	[1[5.3 1.1 ]] =[5,3,4]
Grafikon típusa	Gyűrű
Coxeter csoport Coxeter diagram	[(4,3,3,3)]	[(4,3) 2 ]	[(5,3,3,3)]	[(5,3,4,3)]	[(5,3) 2 ]
Teljesen csonka lépek csúcsalakjai
Tetraéder
Tetraéder szimmetria	[2] + (2. sorrend)	[2,2] + (4-es sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[2,2] + (4-es sorrend)
Kiterjesztett szimmetria	[2 + [(4,3,3,3)]]	[(2,2) + [(4,3) 2 ]]	[2 + [(5,3,3,3)]]	[2 + [(5,3,4,3)]]	[(2,2) + [(5,3) 2 ]]

Megoldások parakompakt hiperbolikus 3 szóközökben

1. sűrűségű megoldások: (Lásd Paracompact (Kozul egyszerűségek csoportjai) )

Grafikon típusa	Vonalgrafikonok
Coxeter csoport Coxeter diagram	[6,3,3]	[3,6,3]	[6,3,4]	[6,3,5]	[6,3,6]	[4,4,3]	[4,4,4]
Tetraéder szimmetria	[ ] + (1. sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[ ] + (1. sorrend)	[ ] + (1. sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[ ] + (1. sorrend)	[2] + (2. sorrend)
Kiterjesztett szimmetria	[6,3,3]	[2 + [3,6,3]]	[6,3,4]	[6,3,5]	[2 + [6,3,6]]	[4,4,3]	[2 + [4,4,4]]
Grafikon típusa	Gyűrűs grafikonok
Coxeter csoport Coxeter diagram	[3 [ ] × [ ] ]	[(4,4,3,3)]	[(4 3 , 3)]	[4 [4] ]	[(6,3 3 )]	[(6,3,4,3)]	[(6,3,5,3)]	[(6,3) [2] ]
Tetraéder szimmetria	[2] (4. sorrend)	[ ] (2. sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[2 + ,4] (8-as sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[2] + (2. sorrend)	[2,2] + (4-es sorrend)
Kiterjesztett szimmetria	[2[3 [ ] × [ ] ]] =[6,3,4]	[1[(4,4,3,3)]] =[3,4 1,1 ]	[2 + [(4 3 ,3)]]	[(2 + ,4)[4 [4] ]] =[2 + [4,4,4]]	[2 + [(6,3 3 )]]	[2 + [(6,3,4,3)]]	[2 + [(6,3,5,3)]]	[(2,2) + [(6,3) [2] ]]
Grafikon típusa	Háromlevelű			farokgyűrű				Simlex
Coxeter csoport Coxeter diagram	[6,3 1,1 ]	[3,4 1,1 ]	[4 1,1,1 ]	[3,3 [3] ]	[4,3 [3] ]	[5,3 [3] ]	[6,3 [3] ]	[3 [3,3] ]
Tetraéder szimmetria	[ ] (2. sorrend)	[ ] (2. sorrend)	[3] (6. sorrend)	[ ] (2. sorrend)	[ ] (2. sorrend)	[ ] (2. sorrend)	[ ] (2. sorrend)	[3,3] (24-es sorrend)
Kiterjesztett szimmetria	[1[6,3 1,1 ]] =[6,3,4]	[1[3,4 1,1 ]] =[3,4,4]	[3[4 1,1,1 ]] =[4,4,3]	[1[3,3 [3] ]] =[3,3,6]	[1[4,3 [3] ]] =[4,3,6]	[1[5,3 [3] ]] =[5,3,6]	[1[6,3 [3] ]] =[6,3,6]	[(3,3)[3 [3,3] ]] =[6,3,3]

Racionális döntések

Több száz racionális megoldás létezik a 3-gömbökre , beleértve ezt a 6 lineáris gráfot, amelyek Schläfli–Hess poliédereket alkotnak , és 11 nemlineárist:

Lásd még

• Pontszimmetriacsoport n -szimplex megoldásokhoz az ( n - 1)-gömbön.

Jegyzetek

Irodalom

• Coxeter HCM 3. táblázat: Schwarz-háromszögek //Rendszeres politópok (könyv) . - Harmadik kiadás. - Dover Edition, 1973. - S.  280 , Goursat-tetraéder. — ISBN 0-486-61480-8 .

• NW Johnson . Az egységes politópok és méhsejt elmélete. - Torontói Egyetem, 1966. - (Ph.D. értekezés). Johnson bebizonyította, hogy a Goursat-tetraéderek Coxeter-féle felsorolása teljes.
• Edouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1889. - Kiadás. 6 . — 9–102., 80–81 tetraéder .
• Klitzing, Richard. Dynkin diagramok Goursat tetraéderek
• NW Johnson . 11., 12., 13. fejezet // Geometriák és transzformációk. — 2015.
• Johnson NW, Kellerhals R., Ratcliffe JG, Tschantz ST Transformation Groups // A hiperbolikus Coxeter szimplex mérete . - 1999. - T. 4. - S. 329–353.