Izomorfizmus-tételek

Az algebra izomorfizmustételei a faktor , a homomorfizmus és a beágyazott objektum fogalmaival kapcsolatos tételek sorozata . A tételek állítása néhány csoport , gyűrű , modul , lineáris tér , Lie-algebra vagy más algebrai struktúra pár izomorfizmusa (az alkalmazástól függően). Általában három izomorfizmus-tétel létezik, amelyeket az elsőnek (a fő homomorfizmus - tételnek is neveznek), második és harmadik. Bár az ilyen tételek meglehetősen könnyen következnek a faktor definíciójából, és senkinek sem tulajdonítják különösebben a felfedezésüket, úgy gondolják, hogy Emmy Noether adta a legáltalánosabb megfogalmazásokat .

Csoportok

Első tétel

Legyen csoport homomorfizmus , akkor:

  1. A φ kernel G normál alcsoportja ; 
  2. A φ kép a H részcsoportja  ;
  3. A φ kép izomorf a G  / ker φ faktorcsoporttal .

Különösen, ha a φ homomorfizmus szürjektív (azaz epimorfizmus ), akkor a H csoport izomorf a G  /ker φ faktorcsoporttal.

Második tétel

Legyen G egy csoportja, S egy  G alcsoportja , N egy G normál alcsoportja  , akkor:

  1. A szorzat a  G alcsoportja ;
  2. A metszéspont S normál alcsoportja  ;
  3. A faktorcsoportok és izomorfok.

Harmadik tétel

Legyen G egy csoport, N és K G normális részcsoportjai  , amelyekre K  ⊆  N , akkor:

  1. N  /  K a G  /  K normál alcsoportja  ;
  2. A hányadoscsoportok ( G  /  K )/( N  /  K ) hányadoscsoportja izomorf a G  /  N hányadoscsoporttal .

Gyűrűk

Ezen a területen a normál alcsoport fogalmát felváltja a gyűrűideál fogalma .

Első tétel

Legyen gyűrű homomorfizmus , akkor:

  1. A φ mag egy ideál  R -ben ;
  2. A φ kép egy részgyűrű  S -ben ;
  3. A φ kép izomorf az R /  ker φ faktorgyűrűvel.

Különösen, ha a φ homomorfizmus szürjektív (azaz epimorfizmus), akkor az S gyűrű izomorf az R  / ker φ faktorgyűrűvel.

Második tétel

Legyen R gyűrű, S részgyűrű  R -ben, I ideál  R -ben, akkor:

  1. Az S  +  I összeg egy részgyűrű  R -ben ;
  2. Az S  ∩  I metszés ideális  S -ben ;
  3. A faktorgyűrűk ( S  +  I ) /  I és S  / ( S  ∩  I ) izomorfok.

Harmadik tétel

Legyen R egy gyűrű, A és B olyan ideálisak  R -ben , hogy B  ⊆  A , akkor:

  1. Az A  /  B ideális  R  /  B -ben ;
  2. A hányadosgyűrűk ( R  /  B )/( A  /  B ) hányadosgyűrűje izomorf az R  /  A hányadosgyűrűvel .

Modulok, Abel-csoportok és lineáris terek

Az Abel-csoportokra és lineáris terekre vonatkozó izomorfizmus-tételek a modulok tételeinek speciális esetei , amelyeket megfogalmazunk. A lineáris terekről további információ a " lineáris leképezési kernel " című cikkben található .

Első tétel

Legyen a modulok homomorfizmusa, akkor:

  1. A φ kernel egy részmodul az  M -ben ;
  2. A φ kép egy részmodul  N -ben ;
  3. A φ kép izomorf az M  / ker φ hányadosmodullal .

Második tétel

Legyen M egy modul, S és T almodulok  M -ben, akkor:

  1. Az S  +  T összeg egy részmodul  M -ben ;
  2. Az S  ∩  T metszéspont egy részmodul  M ‐ben ;
  3. Az (S + T) / T hányadosmodul izomorf az S  / ( S  ∩  T ) hányadosmodullal.

Harmadik tétel

Legyen M egy modul, S és T almodulok  M -ben úgy, hogy T  ⊆  S , akkor:

  1. S  /  T egy részmodul az  M  /  T -ben ;
  2. A faktormodulok ( M  /  T )/( S  /  T ) faktorkészlete izomorf az M  /  S faktormodullal .

Lásd még