Mertens tételei

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Mertens tételei a prímszámok sűrűségére vonatkozó három 1874-es eredmény , amelyet Franz Mertens [1] bizonyít . A "Mertens-tétel" elnevezés utalhat az ő tételére is az elemzésben .

Számelméletben

Az alábbiakban minden n -nél nem nagyobb prímszámot értünk . $p\leqslant n$

Mertens első tétele :

\sum _{p\leqslant n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n

abszolút értékben nem haladja meg a 2-t . ( A083343 sorozat az OEIS -ben ) $n \geqslant 2$

Mertens második tétele :

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM\right)=0,

ahol M a Meissel-Mertens állandó ( A077761 szekvencia az OEIS -ben ). Pontosabban Mertens [1] bebizonyította, hogy a zárójelben lévő kifejezés nem haladja meg az abszolút értéket

{\frac {4}{\ln(n+1)))+{\frac {2}{n\ln n))

bármely . $n \geqslant 2$

Mertens harmadik tétele :

\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },

ahol γ az Euler-Mascheroni állandó ( A001620 szekvencia az OEIS -ben ).

Jel változás

Robin 1983-ban megjelent cikkében [2] az osztók összegének függvénye növekedési fokáról Guy Robin bebizonyította, hogy Mertens második tételében a különbség

\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM

végtelenül sokszor változtatja az előjelet, és Mertens harmadik tételében a különbség

\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }

is végtelenül sokszor vált jelet. Robin eredményei hasonlóak Littlewood híres tételéhez , miszerint a különbség végtelenül sokszor változtat előjelet. A 2. és 3. Mertens-tételre nem ismert a Skewes-szám (az első természetes x szám felső korlátja , amelyre ) analógja . $\pi(x)-li(x)$ $\pi (x)>li(x)$

Mertens második tétele és a prímszámtétel

Az aszimptotikus formulával kapcsolatban Mertens cikkében „két furcsa Legendre-formulára” [1] mutat rá , az első Mertens második tételének prototípusa (a második pedig Mertens harmadik tételének prototípusa – lásd a cikk első sorait). cikk). Felhívja a figyelmet arra, hogy a képletet Legendre Théorie des nombres című művének harmadik kiadása (1830; valójában a második, 1808-as kiadásban) tartalmazza, és Csebisev 1851-ben egy kidolgozottabb változatot bizonyított [3] . Vegyük észre, hogy Euler már 1737-ben ismerte ennek az összegnek aszimptotikus viselkedését [4] .

Mertens diplomatikusan pontosabbnak és szigorúbbnak írja le a bizonyítékát. Valójában az előző bizonyítások egyike sem elfogadható a modern szabványok szerint – Euler számításai a végtelent foglalják magukban (a végtelen hiperbolikus logaritmusa és a végtelen logaritmusának logaritmusa!), Legendre érvei heurisztikusak, Csebisev bizonyítása pedig, bár kifogástalan, a Legendre -Gauss sejtés, amelyet csak 1896-ban bizonyítottak be, és ezt követően prímszámtételként vált ismertté .

Mertens bizonyítása nem hivatkozik semmilyen bizonyítatlan sejtésre (1874-ben), és elemi valós elemzést használ. A bizonyítást 22 évvel a prímszám-tétel első bizonyítása előtt publikálták, amely Mertens bizonyításával ellentétben a Riemann-zéta-függvény viselkedésének alapos elemzésére támaszkodik egy komplex változó függvényében. Mertens bizonyítéka e tekintetben figyelemre méltó. Ráadásul a modern jelöléssel hozamot ad

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)

figyelembe véve azt a tényt, hogy a prímszámok eloszlásáról szóló tétel ekvivalenciája (legegyszerűbb, hibabecslés nélkül) kimutatható a [5] képlettel.

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).

1909- ben Landau a prímszámok eloszlására vonatkozó tétel tökéletesebb változatát felhasználva bebizonyította [6] , hogy

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14)))

Konkrétan a hiba kisebb, mint bármely k rögzített egész számnál . A részenkénti egyszerű összegzés a prímszámtétel legerősebb formáját használva a képletet -ra javítja ${\displaystyle 1/(\log x)^{k))$

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}( \log \log x)^{-1/5}})

egyesek számára . $c>0$

Összegezhetőségi elméletben

Az összegzéselméletben Mertens tétele kimondja, hogy ha egy valós vagy összetett végtelen sorozat

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

konvergál A -hoz és a többi sorozathoz

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

abszolút B - hez konvergál , akkor a Cauchy -szorzatuk konvergál AB- hez .

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Mertens, 1874 , p. 46–62.
↑ Robin, 1983 , p. 233–244.
↑ Csebicsev, 1851 , p. 141–157.
↑ Euler, 1737 , p. 160–188.
↑ Bár ez az ekvivalencia itt például nem szerepel kifejezetten, G. Tenenbaum könyvének I.3. fejezetének anyagából könnyen levezethető ( Tenenbaum 1995 )
↑ Landau, 1909 .

Irodalom

Mertens F. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie // J. reine angew. Matek.. - 1874. - T. 78 .
Robin G. Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs // Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Haladás a matematikában. - 1983. - T. 38 .
Csebicsev P.L. - 1851. - T. VI .
Leonhard Euler. Variae megfigyelések circa series infinitas // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Tenenbaum G. Bevezetés az analitikus és valószínűségi számelméletbe / CB Thomas (Fordítva a második francia kiadásból, 1995). - Cambridge: Cambridge University Press, 1995. - V. 46. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics).
Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Lipcse: Teubner, 1909. Repr. Chelsea New York 1953, 55. §, p. 197-203.
V. I. Zenkin. Prímszámok eloszlása. Elemi módszerek. Kalinyingrád, 2008.

Olvasás további olvasáshoz

Prahar K. A prímszámok eloszlása. — M.: Mir, 1967.

Yaglom A.M. , Yaglom I.M. Nem elemi feladatok elemi bemutatóban. - M.: Gostekhizdat, 1954.Feladatok 167, 169, 170

Linkek

Weisstein, Eric W. Mertens Constant (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Sondow, Jonathan és Weisstein, Eric W. Mertens-tétel (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. Mertens második tétele (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .